Partialintegration

Partialintegration eller partiell integration är ett sätt att analytiskt lösa integraler vars integrand är en produkt av två funktioner enligt

$\int f(x)g(x)\,dx=[F(x)g(x)]-\int F(x)g'(x)\,dx$

där f(x) och g(x) är två godtyckliga deriverbara funktioner, g'(x) är derivatan av g(x) och F(x) är en primitiv funktion till f(x).

Bevis

Beviset kan utföras med en kombination av produktregeln och analysens fundamentalsats och genom att utnyttja att F'(x) = f(x):

$[F(x)g(x)]_{a}^{b}=\int _{a}^{b}(F(x)g(x))'\,dx=\int _{a}^{b}F'(x)g(x)+F(x)g'(x)\,dx=$

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx+\int _{a}^{b}F(x)g'(x)\,dx$

Efter överflyttning av en av termerna är beviset klart.

Tillämpningar

Vissa integraler är analytiskt lösbara endast genom partiell integration. Exempel på sådana integraler är de med integrander som har formen p(x)f(x), där p(x) är ett godtyckligt polynom och f(x) är en exponentialfunktion eller trigonometrisk funktion. För dessa kan polynomen elimineras genom upprepad partiell integration.

Exempel:

$\int x\cos(x)\,dx=$

$x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx=$

$x\sin(x)+\cos(x)+C$

En vanlig metod när en integrand har en obekant primitiv funktion, är att låta integranden bestå av funktionen '1' multiplicerad med den ursprungliga integranden (vars derivata antas vara känd). Ett exempel på metoden är beräkning av logaritmfunktionens integral:

$\int \ln x\,dx=\int 1\cdot \ln x\,dx=\int {\frac {d}{dx}}(x)\cdot \ln x\,dx=x\ln x-\int x{\frac {d}{dx}}(\ln x)\,dx=$

$x\ln x-\int x\cdot {\frac {1}{x}}\,dx=x\ln x-x+C$