Polynomdivision

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Polynomdivision är ett sätt att förenkla och omskriva ett rationellt uttryck.

 { f(x) \over g(x) }

där f(x) och g(x) är polynom, på formen

 {f(x) \over g(x)} = q(x) + { r(x) \over g(x) }

där q(x) kallas kvotpolynom och r(x) kallas restpolynom. Detta kan göras med s.k. polynomdivisionsalgoritmen eller liggande stolen. En polynomdivision följs ofta av en partialbråksuppdelning av resten för att ytterligare förenkla uttrycket.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Här följer instruktioner för polynomdivision med hjälp av liggande stolen.

Som exempel använder vi den här formeln: \frac{x^2+7x-18}{x+9}

Nu ska vi göra den med liggande stolen.

  1. Rita upp stolen.
  2. Skriv ut din nämnare och täljare
  3. x2 delat med x är x och blir det första vi skriver i "kvotfältet"
  4. Sedan tar vi hela kvoten vi har multiplicerat med nämnaren och subtraherar det från vår täljare
  5. Vi får då en "ny" täljare som vi gör samma sak med.
  6. Slutligen får vi 0 i "täljarfältet" och x-2 i "kvotfältet". \frac{x^2+7x-18}{x+9} = x-2

(för x\neq-9. För x=-9 är kvoten odefinierad).

Detta kan kontrolleras genom att multiplicera kvoten med nämnaren och få fram täljaren:

(x-2)(x+9)= x \cdot x + x \cdot 9 + (-2) \cdot x + (-2) \cdot 9 = x^2 + 9x - 2x -18 = x^2 + 7x - 18

Ett bättre exempel[redigera | redigera wikitext]

http://s24.postimg.org/8e3erlfpx/tredjegrad_pol_Stol.png

\frac{x^3-9x+10}{x-2}

  1. Ta ut termen av högst grad i täljaren x^3, gör samma sak med nämnaren x
  2. Dividera dessa: x^3/x=x^2, det är den första delen av kvoten(som skrivs överst).
  3. Därefter multipliceras resultatet i steg 2 med hela nämnaren: x^2(x-2)=x^3-2x^2
  4. Talet från steg 3 subraheras från hela täljaren: x^3-9x+10-(x^3-2x^2)=2x^2-9x+10
    • Hädanefter repeteras steg 1-4 tills endast ett heltal återstår **
  1. Likt steg 1; Högsta graden i den resterande täljaren: 2x^2 Högsta graden i nämnaren är precis som tidigare: x
  2. Likt steg 2; Dividera talen steget innan: \frac{2x^2}{x}=2x (addera detta tal till den slutgiltiga kvoten)
  3. Likt steg 3; Multiplicera kvoten från steget innan med nämnaren: 2x(x-2)=2x^2-4x
  4. Likt steg 4; Resultatet från steget innan subtraheras från kvarstående täljare: 2x^2-9x+10-(2x^2-4x)=-5x+10
  1. Likt steg 1; Högsta graden i den resterande täljaren: -4x. Högsta graden i nämnaren är precis som tidigare: x
  2. Likt steg 2; Dividera talen steget innan: -5x/x=-5 (addera detta tal till den slutgiltiga kvoten)
  3. Likt steg 3; Multiplicera kvoten från steget innan med nämnaren: -5(x-2)=-5x+10
  4. Likt steg 4; Resultatet från steget innan subtraheras från kvarstående täljare: -5x+10-(-5x+10)=0;

Resten blir 0 och divisionen är klar!

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.