Partialbråksuppdelning

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Partialbråksuppdelning är en metod som används för att dela upp ett givet bråk i så kallade partialbråk. Partialbråksuppdelning är mycket användbar inom matematisk analys och vid inverstransformering av rationella Laplacetransformer.

Utgångspunkten är att det givna bråket är ett äkta bråk, det vill säga att täljaren har lägre gradtal än nämnaren och att nämnaren är faktoriserad så långt som möjligt. Målet är att finna partialbråk som vart och ett använder en av dessa faktorer som nämnare så att summan av alla partialbråken motsvarar det ursprungliga bråket.

Partialbråken konstrueras genom att identifiera faktorer i nämnaren enligt tabellen nedan (där alla tal är reella):

Faktor i nämnaren Ger upphov till partialbråken

Bråk med nämnare av andra graden är partialbråk endast om andragradsuttrycken saknar reella nollställen (annars är de faktoriserbara). Koefficienterna Ak och Bk är entydigt bestämda.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Partialbråksuppdela

Först identifieras faktorer i nämnaren och sedan konstrueras partialbråk med hjälp av tabellen ovan:

Återstår att bestämma koefficienterna A, B och C, vilket kan ske genom att multiplicera båda leden med vänsterledets nämnare, förkorta uttrycken samt ordna termerna efter gradtal:

Efter identifiering av termer i vänster- och högerleden med samma gradtal går det att bilda ett linjärt ekvationssystem

som kan lösas med exempelvis gausselimination:

Därmed är partialbråksuppdelningen klar:

Handpåläggning[redigera | redigera wikitext]

Istället för att identifiera koefficienter, så kan man sätta in olika värden på x som gör de olika faktorerna lika med noll, för varje sådant värde multiplicerar man båda leden med den motsvarande faktorn som man valt för att just eliminera denna faktor. I exemplet ovan skulle det ge koefficienterna

men A måste bestämmas på annat sätt, eftersom samma procedur skulle ge nolldivision för denna koefficient. Samma sak händer vid andra multipla rötter.

Namnet handpåläggning kommer från att man med en hand håller för den faktor man formellt multiplicerar med.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Persson, Arne & Böiers, Lars-Christer (2001). Analys i en variabel (2 uppl). Lund: Studentlitteratur. ISBN 91-44-02056-2 
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.