Partialbråksuppdelning

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Partialbråksuppdelning är en metod för att överföra en rationell funktion till en summa av rationella funktioner (partialbråk)

där är ett irreducibelt polynom och polynomet har lägre gradtal än . Partialbråksuppdelning är mycket användbar inom matematisk analys som till exempel vid inverstransformering av rationella laplacetransformer, beräkning av antiderivator och inverstransformering av z-transformer.

Partialbråken kan konstrueras genom att identifiera faktorer i nämnaren enligt tabellen nedan (där alla tal är reella):

Faktor i nämnaren Lämplig ansats

Bråk med nämnare av andra graden är partialbråk endast om andragradsuttrycken saknar reella nollställen (annars är de faktoriserbara). Koefficienterna och är entydigt bestämda.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Partialbråksuppdela

Först identifieras faktorer i nämnaren och sedan ansätts partialbråk med hjälp av tabellen ovan:

Återstår att bestämma koefficienterna A, B och C, vilket kan ske genom att multiplicera båda leden med vänsterledets nämnare, förkorta uttrycken samt ordna termerna efter gradtal:

Efter identifiering av termer i vänster- och högerleden med samma gradtal går det att bilda ett linjärt ekvationssystem

som kan lösas med exempelvis gausselimination:

Därmed är partialbråksuppdelningen klar då vi har hittat koefficienterna

Handpåläggning[redigera | redigera wikitext]

Istället för att identifiera koefficienter, tilldelas x nollställen till de olika faktorerna i nämnaren. Varje sådan faktor multipliceras med ekvationens båda led. Varje term som har denna faktor i nämnaren får den bortförkortad, övriga termer blir noll. Väljs x = -1 övergår (1) till

det vill säga, B = -2. Väljs x = -2 övergår (1) till

det vill säga, C = 3. Men A måste bestämmas på annat sätt (till exempel med gausselimination), eftersom samma procedur skulle ge nolldivision för koefficient B (multipelrot i nämnaren förkortas ej bort).

Namnet handpåläggning kommer från att med en hand hålla för den faktor man formellt multiplicerar med.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.