q-Pochhammersymbolen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

q-Pochhammersymbolen är en q-analogi av Pochhammersymbolen. Den definieras som

och

Q-Pochhammersymbolen är väldigt viktig inom q-analogteori och q-serier.

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

q-Pochhammersymbolen kan skrivas som en oändlig produkt:

och på det viset definieras för negativa heltal n. Om n är positiv är då

och

q-Pochhammersymbolen förekommer i flera q-serieidentiteter:

och

,

som är båda specialfall av q-binomialsatsen:

Relation till partitioner[redigera | redigera wikitext]

q-Pochhammersymbolen är nära relaterad till kombinatoriska teorin av partitioner. Koefficienten av i

är antalet partitioner av m i högst n delar.

Eftersom, genom konjugering av partitioner, är detta samma antalet partitioner av m i delar som är högst n, får vi att genererande funktionerna är identiska:

som i sektionen ovan.

Relation till andra q-funktioner[redigera | redigera wikitext]

Eftersom

kan q-analogin av n definieras som

Med hjälp av det här går det att definiera q-analogin av fakulteten, q-fakulteten, som

Med hjälp av q-fakulteten kan man definiera q-binomialkoefficienterna, även kända som Gaussiska koefficienterna, Gaussiska polynomen samt Gaussiska binomialkoefficienterna, som

Man kan lätt kontrollera att

q-Analogin av gammafunktionen, q-gammafunktionen, definieras som

Den satisfierar identiteterna

för alla x och

för alla icke-negativa heltal n.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Q-Pochhammer symbol, 16 november 2013.