q-gammafunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom q-analogteori är q-gamma funktionen en generalisering av den vanliga Gammafunktionen. Den introducerades av F. H. Jackson. Dess definition är

\Gamma_q(x) = (1-q)^{1-x}\prod_{n=0}^\infty 
\frac{1-q^{n+1}}{1-q^{n+x}}=(1-q)^{1-x}\,\frac{(q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty}

då |q|<1, och

 \Gamma_q(x)=\frac{(q^{-1};q^{-1})_\infty}{(q^{-x};q^{-1})_\infty}(q-1)^{1-x}q^{\binom{x}{2}}

då |q|>1. Här (·;·) är den oändliga q-Pochhammersymbolen. Den satisfierar

\Gamma_q(x+1) = \frac{1-q^{x}}{1-q}\Gamma_q(x)=[x]_q\Gamma_q(x)

För heltal större än0 är

\Gamma_q(n)=[n-1]_q!

där [·]q! är q-fakulteten.

Grönsvärdet då q närmar sig 1

\lim_{q \to 1\pm} \Gamma_q(x) = \Gamma(x).

En q-analog av Stirlings formel för |q|<1 ges av

  \Gamma_q(x) =[2]_{q^{\ }}^{\frac 12} \Gamma_{q^2}\left(\frac 12\right)(1-q)^{\frac 12-x}e^{\frac{\theta q^x}{1-q-q^x}}, \quad 0<\theta<1.

En q-analog av multiplikationsformeln för |q|<1 ges av

  \Gamma_{q^n}\left(\frac {x}n\right)\Gamma_{q^n}\left(\frac {x+1}n\right)\cdots\Gamma_{q^n}\left(\frac {x+n-1}n\right) =[n]_q^{\frac 12-x}\left([2]_q \Gamma^2_{q^2}\left(\frac12\right)\right)^{\frac{n-1}{2}}\Gamma_q(x).

En annan formel är

 \int_0^1\log\Gamma_q(x)dx=\frac{\zeta(2)}{\log q}+\log\sqrt{\frac{q-1}{\sqrt[6]{q}}}+\log(q^{-1};q^{-1})_\infty \quad(q>1).

Relation till andra funktioner[redigera | redigera wikitext]

Q-gammafunktionen är relaterad till Jacobis thetafunktioner enligt

 \left(\Gamma_{q^2}(x)\Gamma_{q^2}(1-x)\right)^{-1}=\frac{q^{2x(1-x)}}{(q^{-2};q^{-2})^3_\infty(q^2-1)}\vartheta_4\left(\frac{1}{2i}(1-2x)\log q,\frac{1}{q}\right).

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, q-gamma function, februari 2014.