Riemannintegral , skapad av Bernhard Riemann , var inom matematisk analys den första rigorösa definitionen av integraler . Det finns flera andra definitioner, bland annat Lebesgueintegralen , som har teoretiska fördelar, men är mer komplicerade.
Kolonnapproximation med Riemannsummor för Riemannintegralen.
Riemanns idé var att definiera integralen för begränsade funktioner
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
"kolonnapproximation" . Först delas
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
b
−
a
{\displaystyle b-a}
f :s värde i den utvalda punkten som höjd. En riemannsumma
Mer precist, partionera
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]\,}
Δ
i
=
[
c
i
−
1
,
c
i
]
⊂
[
a
,
b
]
{\displaystyle \Delta _{i}=[c_{i-1},c_{i}]\subset [a,b]\,}
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle i=1,2,...,n\,}
och välj en punkt
ξ
i
∈
Δ
i
{\displaystyle \xi _{i}\in \Delta _{i}\,}
(
f
(
ξ
i
)
,
Δ
i
)
{\displaystyle (f(\xi _{i}),\Delta _{i})\,}
en kolonn vars area är
f
(
ξ
i
)
ℓ
(
Δ
i
)
{\displaystyle f(\xi _{i})\ell (\Delta _{i})\,}
där
ℓ
{\displaystyle \ell \,}
längden av intervallet:
ℓ
(
Δ
i
)
=
ℓ
(
[
c
i
−
1
,
c
i
]
)
=
c
i
−
c
i
−
1
{\displaystyle \ell (\Delta _{i})=\ell ([c_{i-1},c_{i}])=c_{i}-c_{i-1}}
En n -riemannsumma för
f
{\displaystyle f\,}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
R
n
(
f
)
:=
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
i
)
ℓ
(
Δ
i
)
{\displaystyle R_{n}(f):=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\ell (\Delta _{i})}
det vill säga som summan av alla kolonners areor. Riemannintegralen för funktionen
f
{\displaystyle f\,}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
:=
lim
n
→
∞
R
n
(
f
)
,
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx:=\lim _{n\rightarrow \infty }R_{n}(f),}
det vill säga, bästa approximationen för arean under f :s funktionskurva.
Riemannintegralen i
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
[ redigera | redigera wikitext ] Riemann definierade endast riemannintegralen i
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
B
=
[
a
1
,
b
1
]
×
.
.
.
×
[
a
n
,
b
n
]
{\displaystyle B=[a_{1},b_{1}]\times ...\times [a_{n},b_{n}]}
vara ett n -rätblock i
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
f
:
B
→
R
{\displaystyle f:B\rightarrow \mathbb {R} }
B
{\displaystyle B\,}
n -rätblock
B
i
⊂
B
{\displaystyle B_{i}\subset B\,}
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle i=1,2,...,n\,}
och sedan väljs
ξ
¯
i
=
(
ξ
i
,
1
,
.
.
.
,
ξ
i
,
n
)
∈
B
i
{\displaystyle {\overline {\xi }}_{i}=(\xi _{i,1},...,\xi _{i,n})\in B_{i}\,}
(
f
(
ξ
¯
i
)
,
B
i
)
{\displaystyle (f({\overline {\xi }}_{i}),B_{i})\,}
en n -dimensionell kolonn vars mått är
f
(
ξ
¯
i
)
V
(
B
i
)
{\displaystyle f({\overline {\xi }}_{i})V(B_{i})\,}
där
V
{\displaystyle V\,}
n -dimensionella volymen för rätblocket:
V
(
B
i
)
=
V
(
[
c
i
,
1
,
c
i
+
1
,
1
]
×
.
.
.
×
[
c
i
,
n
,
c
i
+
1
,
n
]
)
=
ℓ
(
[
c
i
,
1
,
c
i
+
1
,
1
]
)
.
.
.
ℓ
(
[
c
i
,
n
,
c
i
+
1
,
n
]
)
=
∏
k
=
1
n
(
c
i
+
1
,
k
−
c
i
,
k
)
{\displaystyle V(B_{i})=V([c_{i,1},c_{i+1,1}]\times ...\times [c_{i,n},c_{i+1,n}])=\ell ([c_{i,1},c_{i+1,1}])...\ell ([c_{i,n},c_{i+1,n}])=\prod _{k=1}^{n}(c_{i+1,k}-c_{i,k})}
En n -riemannsumma för
f
{\displaystyle f\,}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
R
n
(
f
)
:=
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
¯
i
)
V
(
B
i
)
{\displaystyle R_{n}(f):=\sum _{i=1}^{n}f({\overline {\xi }}_{i})V(B_{i})}
det vill säga, som summan av alla kolonners storlek. Riemannintegralen för en funktion
f
{\displaystyle f\,}
∫
a
1
b
1
∫
a
2
b
2
.
.
.
∫
a
n
b
n
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
d
x
1
d
x
2
.
.
.
d
x
n
:=
lim
n
→
∞
R
n
(
f
)
,
{\displaystyle \int _{a_{1}}^{b_{1}}\int _{a_{2}}^{b_{2}}...\int _{a_{n}}^{b_{n}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})\,dx_{1}dx_{2}...dx_{n}:=\lim _{n\rightarrow \infty }R_{n}(f),}
det vill säga, bästa approximationen för (n + 1)-dimensionella måttet under f :s funktionskurva.
![f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0d2d0b70573525d149ab82948308455d1853d0)
![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [a,b]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cb97ebba2cd3175f9a77446963c1849fc353ee)
![{\displaystyle \Delta _{i}=[c_{i-1},c_{i}]\subset [a,b]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40888f289863f83ab43fc88d82d9c3453124ee55)
![{\displaystyle \ell (\Delta _{i})=\ell ([c_{i-1},c_{i}])=c_{i}-c_{i-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94c331c24712053c610f13d3b3c5e4fe968410d)
![{\displaystyle B=[a_{1},b_{1}]\times ...\times [a_{n},b_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9a9f79de8d7a64bf3466e2a461208b53827d68)
![{\displaystyle V(B_{i})=V([c_{i,1},c_{i+1,1}]\times ...\times [c_{i,n},c_{i+1,n}])=\ell ([c_{i,1},c_{i+1,1}])...\ell ([c_{i,n},c_{i+1,n}])=\prod _{k=1}^{n}(c_{i+1,k}-c_{i,k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2620ea5af124d8533ae67400307d0d29bd67f0d)
