Sekundära polynom

Inom matematiken är det sekundära polynomet $\{q_{n}(x)\}$ associerat en följd $\{p_{n}(x)\}$ av ortogonala polynom i förhållande till en densitet $\rho (x)$ som definieras av

$q_{n}(x)=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {p_{n}(t)-p_{n}(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt.$

För att se att funktioner som $q_{n}(x)$ verkligen är polynom, betrakta då ett enkelt exempel på

${\begin{aligned}q_{0}(x)&{}=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {t^{3}-x^{3}}{t-x}}\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {(t-x)(t^{2}+tx+x^{2})}{t-x}}\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!(t^{2}+tx+x^{2})\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!t^{2}\rho (t)\,dt+x\int _{\mathbb {R} }\!t\rho (t)\,dt+x^{2}\int _{\mathbb {R} }\!\rho (t)\,dt\end{aligned}}$

vilket är ett polynom $x$ förutsatt att de tre integralerna i $t$ (momenten av densiteten $\rho$) är konvergenta.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Secondary polynomials, 28 oktober 2013.