Sigma-algebra

En σ-algebra (sigma-algebra) är ett matematiskt objekt som är av central betydelse för studier inom måtteori och integrationsteori.

Syftet med en sigma-algebra är att beskriva vilka delar av en given mängd X som går att mäta. En ofta använd strategi att lösa problem eller lära sig hur ett föremål är beskaffat, är att splittra upp det i mindre beståndsdelar för att därefter studera dessa separat. Det går det inte att splittra upp ett objekt i vilka delar som helst, utan dessa måste se ut på ett visst sätt. Den matematiska motsvarigheten till det sätt på vilket ett objekt får splittras, är en sigma-algebra. Genom att utesluta vissa "mycket konstiga" delmängder av X erhålls en sigma-algebra som är mycket lättare att hantera.

Formell beskrivning

En σ-algebra (sigma-algebra) över en mängd X är en familj ${\mathcal {A}}$ av delmängder av X som är sådan att

• ${\mathcal {A}}$ är icke-tom: $X\in {\mathcal {A}}$
• ${\mathcal {A}}$ är sluten under komplementsbildning: $E\in {\mathcal {A}}\Rightarrow X\setminus E\in {\mathcal {A}}$.
• ${\mathcal {A}}$ är sluten under uppräkneliga unioner. Det innebär att om mängderna $\{U_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ tillhör ${\mathcal {A}}$, är deras union $\cup _{i=1}^{\infty }U_{i}$ också ett element i ${\mathcal {A}}$.

Om ${\mathcal {A}}$ är en sigma-algebra i X kallas ofta paret $(X,{\mathcal {A}})$ ett mätbart rum.

En viktig detalj att notera är att elementen i en sigma-algebra på X utgörs av delmängder till X, inte punkter i X.

Om vi exempelvis låter X vara två-punkts mängden X = { 0, 1 }, så kan en sigma-algebra på X vara familjen { Ø, X }; I denna sigma-algebra är mängden X ett element.

Snitt och unioner av sigma-algebror

Låt $A$ och $B$ vara två sigma-algebror på mängden X.

• Snittet $A\cap B$ är också en sigma-algebra på X. Den är en del-sigma-algebra av både $A$ och $B$.
• Unionen $A\cup B$ är inte nödvändigtvis en sigma-algebra på X.

Följande exempel visar att familjen $A\cup B$ inte behöver vara en sigma-algebra, bara för att familjerna $A$ och $B$ är det.

Tag mängden X = {0,1,2} och de två sigma-algebrorna A = { Ø, X, {0}, {1,2} } samt B = { Ø, X, {1}, {0,2} }. Unionen av dessa sigma-algebror är familjen

$A\cup B=\{\emptyset ,X,\{0\},\{1\},\{1,2\},\{0,2\}\}.$

Om detta vore en sigma-algebra så skulle unionen, {0,1}, av mängderna {0} och {1} vara ett element i familjen $A\cup B$.

Sigma-algebra genererad av familj av delmängder

Låt C vara en godtycklig familj av delmängder till en mängd X. Det finns sigma-algebror, $F_{i}$, av olika storlekar som har familjen C som en del av sig:

$C\subseteq F_{i}.$

Den minsta av dessa sigma-algebror kallas sigma-algebran genererad av familjen C och betecknas $\sigma (C)$; den är definierad som snittet av alla sigma-algebror som omfattar C:

$\sigma (C)=\bigcap _{i}F_{i}.$

Exempel: Borel sigma-algebra

Ett exempel på en sigma-algebra som är genererad av en familj av delmängder ges av ett topologiskt rum (X,T): Objektet T är en familj av delmängder till X som besitter vissa egenskaper; för detaljer se artikeln Topologiskt rum. Sigma-algebran, σ(T), genererad av denna familj kallas Borel sigma-algebran på X.

Exempel: Produkt sigma-algebra

Låt $(X,F)$ och $(Y,G)$ vara två mätbara rum. På den cartesiska produkten $X\times Y$ skall en sigma-algebra konstrueras baserad på de tillgängliga sigma-algebrorna $F$ och $G$.

En första tanke kanske är att bilda familjen $M$ bestående av alla produkter $A\times B$, där A är ett element i F och B ett element i G:

$F\times G=\{A\times B:A\in F,B\in G\}$

Denna familj behöver inte vara en sigma-algebra på $X\times Y$ bara för att F är en sigma-algebra på X och G är en sigma-algebra på Y, vilket följande exempel visar.

Låt $F$ = { Ø, X } vara den triviala sigma-algebran på X och $G$ = { Ø, Y } den triviala sigma-algebran på Y. Produkten av dessa familjer är familjen

$F\times G=\{\emptyset \times \emptyset ,\emptyset \times Y,X\times \emptyset ,X\times Y\}.$

Om vi tar de två elementen $A=\emptyset \times Y$ och $B=X\times \emptyset$, så måste deras union

$A\cup B=\{\emptyset \times Y,X\times \emptyset \}$

vara ett element i familjen om denna är en sigma-algebra på den cartesiska produkten $X\times Y$.

Den korrekta definitionen av produkt-σ-algebran på $X\times Y$ är som den minsta sigma-algebra som innehåller familjen $F\times G$ ovan; den vanligast förekommande beteckningen för denna är $F\otimes G=\sigma (F\times G).$

Sigma-algebra genererad av en avbildning

Låt $f:X\longrightarrow Y$ vara en avbildning från det mätbara rummet $(X,{\mathcal {F}})$ till det mätbara rummet $(Y,{\mathcal {G}})$. Detta innebär att familjen $f^{-1}({\mathcal {G}})$ är en delfamilj av sigma-algebran ${\mathcal {F}}$. Elementen i denna familj ser ut på följande sätt:

$f^{-1}(G)=\{x\in X:f(x)\in G\},\qquad G\in {\mathcal {G}}.$

De utgör en sigma-algebra på mängden X – faktum är att detta är den minsta sigma-algebra på X som gör f till en mätbar avbildning.

Man kallar den för sigma-algebran genererad av avbildningen f och skriver σ(f):

$\sigma (f)=f^{-1}({\mathcal {G}}).$

Sigma-algebra genererad av flera avbildningar

Låt $f:X\longrightarrow Y$ och $g:X\longrightarrow Y$ vara två avbildningar från det mätbara rummet $(X,{\mathcal {F}})$ till det mätbara rummet $(Y,{\mathcal {G}})$.

Unionen $f^{-1}({\mathcal {G}})\cup g^{-1}({\mathcal {G}})$ av det två sigma-algebrorna $f^{-1}({\mathcal {G}})$ och $g^{-1}({\mathcal {G}})$ är inte nödvändigtvis själv en sigma-algebra på $X$; det är däremot sigma-algebran

$\sigma \left(f^{-1}({\mathcal {G}})\cup g^{-1}({\mathcal {G}})\right)$.

Detta är den minsta sigma-algebra på X som gör både f och g till mätbara avbildningar. Man kallar detta för sigma-algebran genererad av avbildningarna f och g, och skriver

$\sigma (f,g)\,$.

På samma sätt som ovan definierar man sigma-algebran $\sigma ({f_{i}:i\in I})$ genererad av avbildningar $f_{i}:X\longrightarrow Y$ från det mätbara rummet $(X,{\mathcal {F}})$ till det mätbara rummet $(Y,{\mathcal {G}})$.

Doob-Dynkins lemma

Låt f och g vara två avbildningar från det mätbara rummet $(X,{\mathcal {F}})$ till det mätbara rummet $(Y,{\mathcal {G}})$:

$f,g:X\longrightarrow Y.$

Avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av f om, och endast om, det finns en mätbar avbildning F som "sammanbinder" avbildningarna f och g:

$g=F\circ f,\qquad F:Y\longrightarrow Y.$

Skrivet på "matematiska":

$g\in \sigma (f)\quad \Longleftrightarrow \quad \exists \,F:g=F\circ f.$

Bevis av Doob-Dynkins lemma

Antag att avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av avbildningen f:

$g^{-1}({\mathcal {G}})\subseteq f^{-1}({\mathcal {G}}).$

Varje element $A\in {\mathcal {G}}$ motsvaras då av ett element $B_{A}\in {\mathcal {G}}$ som är sådant att

$g^{-1}(A)=f^{-1}(B_{A}).\,$

Denna association definierar en mätbar avbildning, $F:Y\longrightarrow Y$ på mängden Y:

$F^{-1}(A)=B_{A},\quad A\in {\mathcal {G}}.$

Denna avbildning "sammanbinder" de två avbildningarna f och g:

$g^{-1}(A)=f^{-1}(F^{-1}(A))=(F\circ f)^{-1}(A),\quad A\in {\mathcal {G}}.$