Stokastisk matris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En stokastisk matris är inom matematik, bland annat linjär algebra och sannolikhetsteori, en kvadratisk matris bestående av icke-negativa tal vars rad- och/eller kolonnsummor är lika med 1. Man skiljer på olika typer av stokastiska matriser:

  • En radstokastisk matris består av icke-negativa element och varje rad har summa 1.
  • En kolonnstokastisk matris består av icke-negativa element och varje kolonn har summa 1.
  • En dubbelstokastisk matris består av icke-negativa element och varje rad och varje kolonn har summa 1.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt A vara en n × n-matris med element aij på rad i och kolonn j. För att A ska vara en stokastisk matris måste samtliga aij vara icke-negativa och något av nedanstående måste vara uppfyllt:

  • För att A ska vara radstokastisk:
\sum_{j=1}^n a_{ij} = 1
för alla i.
  • För att A ska vara kolonnstokastisk:
\sum_{i=1}^n a_{ij} = 1
för alla j.
  • För att A ska vara dubbelstokastisk behöver båda ovanstående villkor vara uppfyllda.

Stokastiska matriser uppstår som övergångsmatriser i Markovkedjor. Elementen aij är då sannolikheten att gå från läge i till j.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • Enligt Perron-Frobenius sats har en stokastisk matris en unik egenvektor som endast har icke-negativa element. Denna egenvektor har egenvärdet 1. Om matrisen är en övergångsmatris för en Markovkedja är detta den stationära fördelningen.
  • Birkhoffs sats: Mängden av dubbelstokastiska matriser är en konvex mängd där extrempunkterna är permutationsmatriser, så att en matris A är dubbelstokastisk om och endast om den är en konvexkombination av permutationsmatriser:
A = \alpha_1P_1 + \alpha_2P_2 + .... + \alpha_kP_k \qquad \qquad \forall i: \alpha_i > 0 \quad \alpha_1 + ... + \alpha_k = 1
Varje dubbelstokastisk n × n-matris behöver maximalt k = n2 - 2n + 2 permutationsmatriser i ovanstående konvexkombination.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Horn, Roger; Charles Johnson (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6 
  • Bhatia, Rajendra (1997). Matrix Analysis. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94846 
  • Yates, Roy; David Goodman (2005). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-27214-4