Svag konvergens

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Svag konvergens är ett matematiskt begrepp i funktionalanalys och syftar på en speciell typ av konvergens i Banach- och Hilbertrum.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En följd av punkter i ett Banachrum X sägs konvergera svagt till x om

för alla begränsade linjära funktionaler f, dvs alla f i dualrummet X'.

Att konvergerar svagt till x skrivs:

Speciellt kan man i ett Hilbertrum H uttrycka svag konvergens som att konvergerar svagt till x om

för alla y i H, där är den inre produkten. Detta kommer av att varje linjär begränsad funktional i ett Hilbertrum kan representeras med hjälp av den inre produkten och ett y i H som ovan, enligt Riesz representationssats.

Svag kontra stark konvergens[redigera | redigera wikitext]

Svag konvergens kan jämföras med det vanliga konvergensbegreppet, stark konvergens eller konvergens i norm. En följd i ett Banachrum sägs konvergera stark till x om

där är normen i Banachrummet. Dessa två konvergensbegrepp definierar två olika topologier på rummet. Topologin inducerad av svag konvergens kallas svag topologi.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Om en följd konvergerar svagt till x kan man visa att många egenskaper som gäller för starkt konvergenta följder gäller även för :

  • Gränsvärdet x är unikt.
  • Varje delföljd av konvergerar svagt till x.
  • Följden är begränsad.
  • Om gäller att .

Stark konvergens implicerar svag konvergens:

Det omvända gäller i ändligtdimensionella vektorrum, men inte i allmänhet. En svagt konvergent följd behöver alltså inte vara starkt konvergent men om den är det så är det svaga och starka gränsvärdet samma.

Om xn konvergerar svagt till x gäller

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 
  • Conway, John (1985). A Course in Functional Analysis. Springer Verlag. ISBN 0-387-96042-2