Sylvesters talföljd

Sylvesters talföljd är en talföljd där varje tal i följden är produkten av de föregående talen plus ett, där det första talet är 2.

De första talen i serien är: 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443,...

Talföljden är uppkallad efter James Joseph Sylvester.

Definition

Talföljden kan definieras formellt genom formeln

$s_{n}=1+\prod _{i=0}^{n-1}s_{i}.$

Eftersom den tomma produkten är lika med 1, är s₀ = 2.

Talföljden går även att definiera med differensekvationen

$\displaystyle s_{i}=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1$, där s₀ = 2.

Egenskaper

Från definitionen följer att s_j ≡ 1 (mod s_i) för i < j. Därmed är varje talpar i talföljden relativt prima.

Sluten formel

Det kan visas att

$s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,$

för en konstant E som är approximativt 1.2640847353053