Terminalt objekt

Ett terminalt objekt i en kategori ${\mathcal {C}}$ är ett objekt $1\in {\mathcal {C}}$ sådant att det för varje annat objekt $x\in {\mathcal {C}}$ finns en unik morfism $x\rightarrow 1$. För ett terminalt objekt $1$ finns alltså en tillordning av en morfism $\operatorname {to} _{1}(x)$ till varje objekt x uppfyllande likheterna

$\operatorname {cod} (\operatorname {to} _{1}(x))=1$

$\operatorname {dom} (\operatorname {to} _{1}(x))=x$

och för varje morfism f sådant att

$\operatorname {cod} (f)=1$

gäller

$f=\operatorname {to} _{1}(\operatorname {dom} (f))$

I termer av mängder av morfismer mellan olika objekt kan det terminala objektet karaktäriseras som att det för godtyckligt objekt $x\in {\mathcal {C}}$ gäller

$\operatorname {Hom} (x,1)=\{\operatorname {to} _{1}(x)\}.$

Två terminala objekt i en kategori är unikt isomorfa, ty om $a$ och $b$ är två terminala objekt finns det enligt definitionen unika morfismer $a\rightarrow b$ och $b\rightarrow a$, och dessa är varandras inverser då deras sammansättningar av samma skäl är identitetsmorfismerna hörande till respektive objekt. Det är därför vanligt att tala om "det terminala objektet" i en kategori.

Exempel

Många vanliga kategorier har terminala objekt:

• I kategorin av mängder är varje mängd med precis ett element terminalt (vilket motiverar beteckningen $1$ för terminala objekt).
• I kategorin av grupper är gruppen med ett element terminal.
• I kategorin av affina schemata är $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$ det terminala objektet.
• I kategorin av topologiska rum är rummet med en enda punkt terminalt.
• I en ordnad mängd, betraktad som en kategori, är det största elementet (om ett sådant finns) terminalt.

Andra vanliga kategorier saknar terminala objekt:

• Kategorin av ringar har inget terminalt objekt.
• Den ordnade mängden av heltal, betraktad som en kategori, har inget terminalt objekt (eftersom det inte finns något största heltal).

Dualitet

Varje kategoriskt begrepp har ett dualt begrepp som erhålls genom att kasta om alla morfismer i definitionen. Under denna dualitet motsvaras terminala objekt av initiala objekt.