Cosinussatsen

c ² = a ² + b² - 2ab cos γ

Cosinussatsen relaterar längden av en sida i en godtycklig triangel till längderna av de andra två samt den till sidan motstående vinkeln.

Antag en triangel med sidlängderna a, b och c och med vinklarna α, β och γ:

Då gäller att

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma$

Om någon vinkel är rät erhålls Pythagoras sats då cosinus för en rät vinkel är 0.

Bevis

Om Pythagoras sats tillämpas erhålls

$\ a^{2}=\left(a\cos \beta \right)^{2}+\left(b^{2}-\left(b\cos \alpha \right)^{2}\right)$

Enligt figuren är

$\ a\cos \beta =c-b\cos \alpha$

vilket om det insätts i uttrycket för $\ a^{2}$ ger

$a^{2}=\left(c-b\cos \alpha \right)^{2}+b^{2}-\left(b\cos \alpha \right)^{2}$

En utveckling av ovanstående uttryck ger till slut

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

Se även

• Areasatsen
• Sinussatsen
• Tangenssatsen