Fermats lilla sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Pierre de Fermat formulerade satsen.

Fermats lilla sats säger att om p är ett primtal, så gäller för varje heltal a att

a^p \equiv a\ (\operatorname{mod}\ p)

Detta betyder att om man tar ett tal a, multiplicerar det med sig självt p gånger och subtraherar a så är resultatet delbart med p (se modulär aritmetik). Satsen kallas för Fermats lilla sats för att skilja den från Fermats stora sats. Pierre de Fermat upptäckte satsen runt 1636. Den nämndes i ett av hans brev, daterat 18 oktober 1640, i följande ekvivalenta form: p delar a p -1 - 1 närhelst p är ett primtal och a och p är relativt prima. Fallet för a = 2 var känt av de forntida kineserna.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Fermat förklarade sin sats utan bevis. Den första som gav ett bevis var Gottfried Wilhelm Leibniz i ett manuskript utan datum, i vilket han också skrev att han kände till ett bevis före 1683.

Induktionsbevis[redigera | redigera wikitext]

Fermats lilla sats kan bevisas med matematisk induktion.

Om a = 1, så 1^p \equiv 1\ (\operatorname{mod}\ p) och satsen gäller. Antag att satsen gäller för alla a \leq n. Då har vi att n^p \equiv n\ (\operatorname{mod}\ p). Om nu a = n+1, så är

 a^p = (n+1)^p
\equiv n^p + {p \choose 1}n^{p-1} \cdot 1 + {p \choose 2}n^{p-2} \cdot 1^2 + ... + {p \choose p-1}n^1 \cdot 1^{p-1} + 1^p \pmod p
\equiv n^p + p \cdot n^{p-1} + p  \cdot  { (p-1)! \over 2!(p-2)!} \cdot n^{p-2} + ... + p \cdot n^1 + 1 \pmod p
\equiv n^p + 1 \pmod p
\equiv n + 1 \pmod p ,

det vill säga a^p\equiv a\ (\operatorname{mod}\ p), och satsen gäller.

Gruppteoretiskt bevis[redigera | redigera wikitext]

Fermats lilla sats kan även bevisas med hjälp av gruppteori:

Låt p vara ett primtal och G vara gruppen bestående av elementen 1, 2, ..., p - 1 under operationen multiplikation modulo p. Gruppen har då ordningen p - 1. Ta nu ett element a i G (dvs, a ligger mellan 1 och p - 1) och låt k vara a:s ordning (dvs det minsta k så att a^k är 1).

Enligt Lagranges sats är k en delare i G:s ordning, p - 1, dvs p - 1 = kn, för något heltal n. Man får att:

a^{p-1} \equiv a^{kn} \equiv \left( a^k \right)^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod p.

Om båda sidor multipliceras med a fås:

a^p \equiv a \pmod p.

Generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Fermats lilla sats kan generaliseras till Eulers sats, vilken kan ytterligare generaliseras till Carmichaels sats.

Pseudoprimtal[redigera | redigera wikitext]

Om a och p är relativt prima tal sådana att a p -1 - 1 är delbart med p, då behöver inte p vara ett primtal. Om det inte är ett primtal kallas p ett pseudoprimtal till basen a. Ett tal p som är ett pseudoprimtal till basen a för varje a relativt primt med p kallas ett Carmichaeltal.

Se även[redigera | redigera wikitext]