Fermats lilla sats

Pierre de Fermat formulerade satsen.

Gottfried Wilhelm von Leibniz bevisade satsen.

Fermats lilla sats säger att om p är ett primtal gäller för varje heltal a att

$a^{p}\equiv a\ (\operatorname {mod} \ p)$

Detta betyder att om man tar ett tal a, multiplicerar det med sig självt p gånger och subtraherar a är resultatet delbart med p (se modulär aritmetik). Satsen kallas för Fermats lilla sats för att skilja den från Fermats stora sats. Pierre de Fermat upptäckte satsen runt 1636. Den nämndes i ett av hans brev, daterat 18 oktober 1640, i följande ekvivalenta form: p delar a ^{p -1} - 1 närhelst p är ett primtal och a och p är relativt prima. Fallet för a = 2 var känt av de forntida kineserna.

Bevis

Fermat förklarade sin sats utan bevis. Den första som gav ett bevis var Gottfried Wilhelm Leibniz i ett manuskript utan datum, i vilket han också skrev att han kände till ett bevis före 1683.

Induktionsbevis

Fermats lilla sats kan bevisas med matematisk induktion.

Om $a=1$, så $1^{p}\equiv 1\ (\operatorname {mod} \ p)$ och satsen gäller. Antag att satsen gäller för alla $a\leq n$. Då har vi att $n^{p}\equiv n\ (\operatorname {mod} \ p)$. Om nu $a=n+1$, så är

$a^{p}=(n+1)^{p}$

$\equiv n^{p}+{p \choose 1}n^{p-1}\cdot 1+{p \choose 2}n^{p-2}\cdot 1^{2}+...+{p \choose p-1}n^{1}\cdot 1^{p-1}+1^{p}{\pmod {p}}$$\equiv n^{p}+\sum _{k=1}^{p-1}{p! \over k!(p-k)!}\cdot n^{p-k}+1\equiv n^{p}+p\sum _{k=1}^{p-1}{p! \over k!(p-k)!\cdot p}\cdot n^{p-k}+1{\pmod {p}}$

Nu till koefficienten ${p! \over k!(p-k)!\cdot p}$.

Om p är ett primtal är inga av faktorerna i k! eller (p - k)! delare till p.

Eftersom ${p! \over k!(p-k)!}$ är ett heltal måste då ${p! \over k!(p-k)!\cdot p}$vara ett heltal.

$\equiv n^{p}+1{\pmod {p}}$, om p är ett primtal

$\equiv n+1{\pmod {p}}$

det vill säga $a^{p}\equiv a\ (\operatorname {mod} \ p)$, och satsen gäller.

Gruppteoretiskt bevis

Fermats lilla sats kan även bevisas med hjälp av gruppteori:

Låt p vara ett primtal och G vara gruppen bestående av elementen 1, 2, ..., p - 1 under operationen multiplikation modulo p. Gruppen har då ordningen p - 1. Ta nu ett element a i G (dvs, a ligger mellan 1 och p - 1) och låt k vara a:s ordning (dvs det minsta k så att $a^{k}$ är 1).

Enligt Lagranges sats är k en delare i G:s ordning, p - 1, dvs p - 1 = kn, för något heltal n. Man får att:

$a^{p-1}\equiv a^{kn}\equiv \left(a^{k}\right)^{n}\equiv 1^{n}\equiv 1{\pmod {p}}.$

Om båda sidor multipliceras med a fås:

$a^{p}\equiv a{\pmod {p}}.$

Generaliseringar

Fermats lilla sats kan generaliseras till Eulers sats, vilken kan ytterligare generaliseras till Carmichaels sats.

Pseudoprimtal

Om a och p är relativt prima tal sådana att a ^{p -1} - 1 är delbart med p, då behöver inte p vara ett primtal. Om det inte är ett primtal kallas p ett pseudoprimtal till basen a. Ett tal p som är ett pseudoprimtal till basen a för varje a relativt primt med p kallas ett Carmichaeltal.

Se även

• Fermats stora sats

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Fermats lilla sats.
  Bilder & media