Friedrichs olikhet

Inom matematiken är Friedrichs olikhet en olikhet inom funktionalanalys. Den ger en övre gräns för L^p-normen av en funktion genom att använda L^p-begränsningar för svaga derivatan av funktionen och geometrin av definitionsmängden, och kan användas till att bevisa att vissa normer av Sobolevrum är ekvivalenta. Olikheten bevisades av Kurt Friedrichs.

Olikheten

Låt Ω vara en begränsad delmängd av det Euklidiska rummet Rⁿ med diameter d. Anta att u : Ω → R är i Sobolevrummet $W_{0}^{k,p}(\Omega )$ (d.v.s. u är i W^k,p(Ω) och spåret av u är noll). Då är

$\|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}$

där

• $\|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}$ betecknar L^p-normen;
• α = (α₁, ..., α_n) är ett multiindex med norm |α| = α₁ + ... + α_n;
• D^αu betecknar den partiella derivatan

$\mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.$

Se även

• Poincarés olikhet

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Friedrichs' inequality, 19 juni 2014.