Norm (matematik)

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Manhattan-normen (röd, blå, gul) och euklidisk norm (grön)

Inom matematiken är norm ett sätt att tilldela en längd till objekt, vanligen definierade i ett vektorrum. Normen, ofta betecknad med ||  || uppfyller följande villkor, där x och y tillhör ett vektorrum X och a är en skalär:

  • ||x|| = 0 om och endast om x = 0
  • ||a x||  =  |a| ||x||
  • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

Ett vektorrum på vilket man definierat en norm kallas ett normerat rum. I ett normerat rum kan man definiera avståndet mellan två punkter som  d(x,y) = ||x-y|| , och det blir då ett metriskt rum. Metriken definierar en topologi, som gör vektoraddition och skalärmultiplikation till kontinuerliga funktioner. Ett normerat rum är därmed alltid ett topologiskt vektorrum. Om ett normerat rum dessutom är fullständigt (med avseende på metriken som induceras av normen), så kallas det för ett Banachrum.

En seminorm eller pseudonorm är en funktion som tillåts avbilda nollskilda element på noll, men som i övrigt uppfyller villkoren för en norm.

Exempel i ändligdimensionella rum[redigera | redigera wikitext]

Rn kan ha ett flertal olika normer, några exempel (här är x = (x1, ... , xn), där varje xi tillhör R. I Cn blir det inte stor skillnad; följande normer fungerar även där. (Det är därför som beloppstecken alltid är utsatta runt x).

Euklidisk norm[redigera | redigera wikitext]

Den euklidiska normen definieras som

\|\mathbf{x}\| = \|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{\sum_{k=1}^{n}|x_k|^2}.

Det följer av Pythagoras sats att detta är den vanliga längden av en vektor i fallen n=2 och n=3. Den euklidiska normen generaliserar därmed det vanliga längdbegreppet till högre dimension.

'Manhattan-normen'[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Manhattangeometri

Manhattan-normen definieras som

\|\mathbf{x}\|_1 = \sum_{k=1}^{n}|x_k|.

Motsvarande metrik beskriver kortaste avståndet mellan två punkter om man måste röra sig parallellt med koordinataxlarna, vilket kan exemplifieras med att man färdas på Manhattans rektangulära gatunät.

Maximumnormen[redigera | redigera wikitext]

Maximumnormen definieras som \|\mathbf{x}\|_\infty = \max{\{|x_1|, \cdots ,|x_n|\}}.

p-norm[redigera | redigera wikitext]

För p ≥ 1 definierar

\|\mathbf{x}\|_p = \left(\sum_{k=1}^{n}|x_k|^p\right)^{1/p}

en norm på Rn. Manhattan-normen, den Euklidiska normen och maximumnormen fås som specialfall (p=1, 2 respektive gränsfallet p=\infty.) För 0<p<1 gäller inte triangelolikheten ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, och p-normen uppfyller då inte den definition av norm som getts ovan.

Exempel i oändligdimensionella rum[redigera | redigera wikitext]

Ett exempel på ett oändligdimensionellt rum är rummet av alla funktioner, säg från R till R. Några exempel på normer definierade i delrum av detta:

Cr-norm[redigera | redigera wikitext]

Betrakta delrummet av r gånger kontinuerligt deriverbara funktioner.

\|f\|_{C^r} = \max_{x \in \mathbb{R}} {\{|f(x)|, |f'(x)|, \cdots ,|f^{(r)}(x)|\}}

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.