Transponat

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom linjär algebra är transponatet av en matris A en matris betecknad  A^T .  A^T kan beräknas på flera ekvivalenta sätt:

  • Låt  A :s rader bilda  A^T :s kolonner.
  • Låt  A :s kolonner bilda  A^T :s rader.
  • Bilda  A^T genom att reflektera  A :s element i huvuddiagonalen.

Om  a_{ij} är elementet på rad  i , kolonn  j i  A ges elementen i  A^T av:

 a_{ij}^T = a_{ji} .

Exempel[redigera | redigera wikitext]

 
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
3 & 5 & 7 \\
9 & 7 & 3 
\end{pmatrix}^T
=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 9 \\
2 & 5 & 7 \\
1 & 7 & 3 
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
1 & 7 & 5 \\
2 & 3 & 0
\end{pmatrix}^T
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
7 & 3 \\
5 & 0
\end{pmatrix}

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Om  A, B är matriser och  c en skalär, så har man följande egenskaper:

 (A^T)^T = A \,
 (A+B)^T = A^T+B^T\,
 (cA)^T = cA^T\,
  • Vid transponering av en produkt av matriser vänder man på ordningen:
(AB)^T = B^TA^T\,
 \det (A^T) = \det A\,
  • Om  A är inverterbar är transponatet av inversen lika med inversen av transponatet:
 (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\,

Speciella matriser[redigera | redigera wikitext]

Om  D är en diagonalmatris är  D^T = D .

En symmetrisk matris är en matris där

 A = A^T\, .

En skevsymmetrisk matris är en matris där

 A = -A^T\, ..

En ortogonal matris är en matris vars transponat är dess invers:

 A^TA = AA^T = I\,
 A^T = A^{-1}\, .

Se även[redigera | redigera wikitext]