Kirchhoffs lagar

Kirchhoffs lagar är inom strömkretsläran två lagar som kompletterar Ohms lag och som gör det möjligt att ställa upp ekvationsystem för att beräkna strömmarna och spänningarna i en elektrisk krets.

Lagarna är uppkallade efter den tyske fysikern Gustav Kirchhoff. Den första lagen är Kirchhoffs strömlag som beskriver hur strömmar grenar sig i en krets. Den andra, Kirchhoffs spänningslag, beskriver hur spänningar fördelas i en krets.

Kirchhoffs strålningslag handlar om värmestrålning.

Kirchhoffs strömlag

En nod

Första lagen, Kirchhoffs strömlag (också kallad KCL), gäller för strömmar i ett elektriskt nät:

Summan av alla elektriska strömmar som flyter till en nod är lika med summan av alla strömmar som flyter från noden,

eller

$i_1 + i_2 + ... + i_n = 0 \,$

där $i_k$ betecknar en nodström.

Inkommande ström har positivt tecken och utgående ström negativt.

Om den numeriska lösningen ger negativa värden för vissa strömmar, innebär detta att de korrekta strömriktningarna är motsatta de antagna riktningarna för dessa strömmar.

Begränsningar

KCL bygger i sin normala form på antagandet att strömmen endast flyter i ledare och att närhelst en ström flyter in i en ände av en ledare så strömmar den omedelbart ut i den andra. Detta är inte ett säkert antagande för växelströmskretsar. Det kan vara möjligt att åtgärda detta genom att införa "parasitkapacitanser" fördelade längs ledarna, men, detta förringar mycket av enkelheten i KCL och upphäver det meningsfulla i topologiska kopplingsscheman. Betydande avvikelser från KCL kan förekomma vid så låg frekvens som 50Hz.

KCL är giltig endast om den totala elektrisk laddningen, $\scriptstyle Q$, förblir konstant i regionen. I praktiken är detta alltid fallet när KCL appliceras på en geometrisk punkt. Vid analys av ett ändligt område är det emellertid möjligt att laddningstätheten inom regionen förändras, vilket endast kan orsakas genom ett flöde av laddningar över regionens gränser. Detta flöde utgör en nettoström och KCL gäller inte.

Ett särskilt fall som KCL inte behandlar är strömmen in i en enda platta av en plattkondensator. Om man föreställer sig en sluten yta runt den ena plattan, går ström genom ytan men inte ut från ytan, vilket bryter mot KCL. Strömmarna genom en sluten yta runt hela kondensatorn uppfyller KCL eftersom strömmen som går in i en platta balanseras av strömmen som lämnar den andra plattan och det är vanligtvis allt som är av vikt i kretsanalysen, men ett problem föreligger om bara en platta behandlas. Ett annat exempel är strömmen i en antenn där strömmen kommer in i antennen från sändarens förstärkare men ingen ström kommer ut från den andra änden.

Förskjutningsströmmar

Maxwell införde begreppet förskjutningsströmmar för att beskriva dessa situationer. Den ström som flyter in i en kondensatorplatta är lika med laddningsuppbyggnadens hastighet och därmed också lika med strömmens förändringshastighet. Denna förändringstakt för flöde $\psi$, är vad Maxwell kallade förskjutningsström $\scriptstyle I_\mathrm D$:

$I_\mathrm D = \frac {d \psi} {d t}$

När förskjutningsströmmar ingår, gäller Kirchhoffs strömlag åter. Förskjutningsströmmar är inte riktiga strömmar genom att de inte består av rörliga laddningar och bör ses som korrektionsfaktorer för att göra KCL korrekt. I fallet med kondensatorplattan kommer den verkliga strömmen som kommer in i plattan att exakt annulleras av en förskjutningsström som lämnar plattan och rör sig mot den andra plattan.

Kirchhoffs spänningslag

En sluten krets

Andra lagen, Kirchhoffs spänningslag (också kallad KVL), gäller för spänningar i ett elektriskt nät:

Summan av samtliga emk's som ingår i en sluten krets är lika med summan av potentialfallen,

eller

$u_1 + u_2 + ... + u_n = 0 \,$

där $u_k$ betecknar en potentialändring.

Vid tillämpning av spänningslagen tilldelas varje nätgren en spänning med godtycklig polaritet, såvida denna inte är känd. Om lösningen ger en negativ spänning innebär detta att den verkliga polariteten är den antagnas motsatta polaritet.

Begränsning

Lagen är en förenkling av Faradays induktionslag för det speciella fall där det inte finns fluktuerande magnetfält som ingår i den slutna slingan. I princip är därför lagen tillämpbar endast för kretsar som innehåller resistorer och kondensatorer.

I närvaro av ett växlande magnetfält är det elektriska fältet inte konservativt och det kan därför inte svara mot en skalär potential - linjeintegralen av det elektriska fältet runt kretsen är inte noll. Detta beror på att energi överförs från det magnetiska fältet till den aktuella kretsen och vice versa. För att korrigera Kirchhoffs spänningslag för kretsar innehållande induktorer, kan ett potentialfall, eller elektromotorisk kraft (emk), associeras med varje induktans tillhörande kretsen, som är lika med det belopp med vilket linjeintegralen av det elektriska fältet inte är noll i enlighet med Faradays induktionslag.

Exempel

Antag en elektrisk krets bestående av två spänningskällor och tre resistorer:

Enligt första lagen är

$i_1 - i_2 - i_3 = 0\,$

Andra lagen tillämpad på den slutna kretsen s₁ ger

$-R_2 i_2 + \epsilon_1 - R_1 i_1 = 0\,$

Andra lagen tillämpad på den slutna kretsen s₂ ger

$-R_3 i_3 - \epsilon_2 -\epsilon_1 + R_2 i_2 = 0\,$

Vi får således ett linjärt ekvationssystem i $i_1, i_2, i_3\,$:

$\begin{cases} i_1 - i_2 - i_3 &= 0 \\ -R_2 i_2 + \epsilon_1 - R_1 i_1 &= 0 \\ -R_3 i_3 - \epsilon_2 -\epsilon_1 + R_2 i_2 &= 0 \\ \end{cases}$

Med

$R_1 = 100,\, R_2 = 200,\, R_3 = 300,\, \epsilon_1 = 3,\, \epsilon_2 = 4$

blir lösningen

$\begin{cases} i_1 = \frac{1}{1100} \\ i_2 = \frac{4}{275} \\ i_3 = -\frac{3}{220} \\ \end{cases}$

$i_3\,$ har negativt tecken vilket innebär att $i_3\,$'s riktning är motsatt den som bilden visar.