Kleins fyrgrupp

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Kleins fyrgrupp, ofta betecknad V, är i matematiken gruppen \Z_2 \times \Z_2, en direkt produkt av den cykliska gruppen C2, med sig själv. Den är isomorf med den dihedrala gruppen D_2.

Eftersom gruppen innehåller fyra element fick den namnet Vierergruppe av Felix Klein i ett verk från 1884. Kleins fyrgrupp och den cykliska gruppen med fyra element, \Z_4, är de enda grupper, upp till isomorfi, vilka har fyra element. Kleins fyrgrupp är den minsta grupp, som inte är cyklisk.

Kleins fyrgrupp kan exemplifieras med gruppen \{1, 3, 5, 7 \} med operatorn multiplikation modulo 8, eller uttryckas som en permutationsgrupp:

V = \{ (1), (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3) \}\,

och är som sådan en normal delgrupp till den alternerande gruppen A_4 och den symmetriska gruppen S4

Cayleytabellen för Kleins fyrgrupp är:

* 1 i j k
1 1 i j k
i i 1 k j
j j k 1 i
k k j i 1

De tre element med ordning 2 i gruppen är utbytbara; automorfigruppen är gruppen av permutationer av tre element.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. Sid. 70. ISBN 91-44-01262-4