Lorentztransformation

Lorentztransformationen är en uppsättning ekvationer inom relativitetsteorin som anger hur tids- och rumskoordinater mäts i olika inertialsystem. Dessa ekvationer används för att transformera dessa storheter mellan olika inertialsystem. En storhet som inte ändras av en Lorentztransformation sägs vara Lorentzinvariant.

Relativitetsteorin postulerar att ljusets hastighet är densamma i alla referenssystem, vilket är ett tillräckligt antagande för att härleda Lorentztransformationen.

Historik [redigera]

Lorentztransformationen är uppkallad efter Hendrik Lorentz, som tillkännagav sina slutsatser 1904 utan att känna till att Woldemar Voigt redan 1887 hade publicerat kring detta. Voigts arbete blev inte uppmärksammat förrän långt senare, vilket Ernst & Hsu (2001) menar försenade insikterna som ledde fram till den speciella relativitetsteorin.^[1] Voigttransformationens sätt att nalkas problemen har också erkänts av såväl Hermann Minkowski som Lorentz själv.

Matematisk formulering [redigera]

Transformationen relaterar rumtidskoordinaterna i två olika inertialsystem $S$ och $S'$ , som rör sig i förhållande till varandra. Antag att $S'$ rör sig med hastigheten $v$ längs $x$ -axeln, och att en händelse äger rum vid tiden $t$ och koordinaterna $(x, y, z)$ i systemet $S$ och vid $t'$ och $(x', y', z')$ i systemet $S'$ . Då ges $t'$ och $(x', y', z')$ enligt Lorentztransformationen av

$t' = \gamma \cdot \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)$

$x' = \gamma \cdot (x - v t) \frac{}{}$

$y' = y \frac{}{}$

$z' = z \frac{}{}$

där $c$ är ljushastigheten i vakuum och

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac {v}{c})^2}}$ är den så kallade Lorentzfaktorn, som alltid är större eller lika med 1.

$\ \gamma$ som funktion av $\ v$

Lorentztransformationen ger effekter som tidsdilatation och längdkontraktion, det vill säga att man mäter olika längder och tidsintervall i olika inertialsystem:

Tidsdilatation: $\Delta t = \Delta t_0 \gamma \frac{}{}$
Längdkontraktion: $l = {l_0 \over \gamma}$

Där "referensvärderna" (till exempel $\Delta t_0$ ) avser de värden som en rörlig observatör i referenssystemet skulle mäta dessa värden till.

Dessa fenomen uppfattas inte vid vardagliga hastigheter utan blir väsentliga först vid hastigheter av ungefär 10% av ljusets hastighet i vakuum. Ekvationerna ger till exempel att ett föremål som färdas i 90% av ljusets hastighet är endast 44% av sin längd i rörelseriktningen, jämfört med när föremålet är i vila. Tidsdilatationen har observerats experimentellt, till exempel hos myoner i kosmisk strålning som har för kort livslängd för att kunna nå jordytan om inte tidsdilatationen existerade.