Pascalmatris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Pascalmatris är inom matematiken en oändlig matris innehållande binomialkoefficienter, liknande Pascals triangel. Pascalmatriser kan uttryckas på tre olika sätt; som höger- eller vänstertriangulära matriser eller som en symmetrisk matris. Om man begränsar Pascalmatrisen till en matris av format 5×5 får man då dessa representationer:

Högertriangulär: 
U_5=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\,\,\,  Vänstertriangulär: 
L_5=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 3 & 3 & 1 & 0 \\
1 & 4 & 6 & 4 & 1
\end{pmatrix}\,\,\,  Symmetrisk: S_5=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 3 & 6 & 10 & 15 \\
1 & 4 & 10 & 20 & 35 \\
1 & 5 & 15 & 35 & 70
\end{pmatrix}.

Matrisen  S_n är helt enkelt en matris där kolonnerna är kolonnerna i Pascals triangel, men första elementet i en kolonn är det första nollskilda elementet i triangeln för motsvarande kolonn.

Man kan visa att  S_n = L_n U_n , se att spåret av de två första matriserna är:  \operatorname{tr}\, U_n = \operatorname{tr}\, L_n = n \,, samt att  \det S_n = \det L_n \det U_n = 1\,.

Man kan också se att  U_n^T = L_n , där  T står för transponat.

Konstruktion[redigera | redigera wikitext]

Pascalmatriser kan fås genom att ta matrisexponentialen av en speciell matris med särskilda element antingen i diagonalen över eller under huvuddiagonalen och nollor på alla andra platser, där elementet på rad  k är  k . Exempel:

 L_6 = 
\exp
\begin{pmatrix} 
0 & 0 & 0 & 0 &0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0  
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 6 & 4 & 1 & 0 \\
1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1
\end{pmatrix}

och  U_6 konstrueras likartat, men matrisen som man utgår ifrån har elementen i superdiagonalen. Man kan sedan konstruera  S_6 = L_6U_6. Konstruktionen gäller för alla  n , observera dock att  e^Ae^B = e^{AB} i allmänhet inte gäller då  A,B är matriser, så man måste räkna ut två matrisexponentialer om man vill veta  S_n , eller utnyttja att  U_n = L_n^T .