Pascals triangel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
De sex första raderna i Pascals triangel

Inom matematiken är Pascals triangel en geometrisk framställning av binomialkoefficienterna i form av en triangel. Den namnges ofta efter matematikern och fysikern Blaise Pascal, men var känd utanför Europa långt före Pascals levnad.

Något förenklat är varje rad ett element längre än föregående rad och varje elements värde är summan av elementen ovanför till vänster och höger (om dessa existerar). På så sätt har varje rad en etta i början och slutet. Rad- och kolumnräkningen börjar båda på noll.

PascalTriangleAnimated2.gif

Varje elements värde i triangeln är summan av elementen ovanför.

Således, det fjärde elementet på rad fem beräknas genom att det tredje och fjärde elementet på föregående rad adderas.

Triangeln kan ses som en tillämpning av Pascals identitet

{n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}

där n,\,k \ge 0 och n \ge k med initialvärdet  {n \choose 0} = {n \choose n} = 1

Således motsvarar första elementet i triangeln binomialkoefficienten {0 \choose 0} och kan alltså refereras till som rad (n + 1).

Talen i mittkolumnen kallas centrala binomialkoefficienter.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

{n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k} =
 = \frac{(n-1) \ldots [(n-1)-(k-1)+1]}{(k-1)!} + \frac{(n-1) \ldots [(n-1)-k+1]}{(k)!} =
 = (n-1)(n-2) \ldots (n-k+1) \left(\frac{1}{(k-1)!} + \frac{n-k}{k!} \right) =
 = (n-1)(n-2) \ldots (n-k+1) \cdot \frac{k+n-k}{k!} =
 = \frac{n(n-1)(n-2) \ldots (n-k+1)}{k!} = {n \choose k}