Polärfaktorisering

Polärfaktorisering är inom linjär algebra en matrisfaktorisering som är analog till polärfaktorseringen av ett komplext tal, $z = re^{i \theta}$, där r är absolutbeloppet av z och $\theta$ är z:s argument.

Definiton och beräkning

Givet en matris A kan den faktoriseras på formen:

$A = UP \,$

som kallas högerpolärfaktorisering. A kan även faktoriseras som:

$A = P'U \,$

som kallas vänsterpolärfaktorisering eller omvänd polärfaktorisering.

U är en unitär matris som är gemensam för båda faktoriseringarna. P och $P'$ är positivt semidefinita hermiteska matriser. Faktoriseringarna existerar alltid och är unika så länge A är inverterbar och P väljs att vara positivt definit.

Matriserna P och $P'$ ges av:

$P = \sqrt{A^*A}$

$P' = \sqrt{AA^*}$

där $A^*$ är det hermiteska konjugatet till A. Uttrycken är väldefinierade då $A^*A$ och $AA^*$ är positivt definita hermiteska matriser, så att det existerar en unik kvadratrot.

Matrisen U ges sedan alltid av:

$U=AP^{-1}=P'^{-1}A\,$

Beräkning via singulärvärdesfaktorisering

Om A är singulärvärdesfaktoriserad, $A = W \Sigma V^*$, ges matriserna i polärfaktoriseringarna av:

$U = WV^*$

$P = V \Sigma V^*$

$P' = W \Sigma W^*$