Polärfaktorisering

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Polärfaktorisering är inom linjär algebra en matrisfaktorisering som är analog till polärfaktorseringen av ett komplext tal,  z = re^{i \theta} , där r är absolutbeloppet av z och  \theta är z:s argument.

Definiton och beräkning[redigera | redigera wikitext]

Givet en matris A kan den faktoriseras på formen:

 A = UP \,

som kallas högerpolärfaktorisering. A kan även faktoriseras som:

 A = P'U \,

som kallas vänsterpolärfaktorisering eller omvänd polärfaktorisering.

U är en unitär matris som är gemensam för båda faktoriseringarna. P och  P' är positivt semidefinita hermiteska matriser. Faktoriseringarna existerar alltid och är unika så länge A är inverterbar och P väljs att vara positivt definit.

Matriserna P och  P' ges av:

 P = \sqrt{A^*A}
 P' = \sqrt{AA^*}

där  A^* är det hermiteska konjugatet till A. Uttrycken är väldefinierade då  A^*A och  AA^* är positivt definita hermiteska matriser, så att det existerar en unik kvadratrot.

Matrisen U ges sedan alltid av:

U=AP^{-1}=P'^{-1}A\,

Beräkning via singulärvärdesfaktorisering[redigera | redigera wikitext]

Om A är singulärvärdesfaktoriserad,  A = W \Sigma V^*, ges matriserna i polärfaktoriseringarna av:

 U = WV^*
 P = V \Sigma V^*
 P' = W \Sigma W^*