Unitär matris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En unitär matris är en kvadratisk matris vars hermiteska konjugat även är dess invers, det vill säga

U U^H=U^H U=I\,

där I är enhetsmatrisen och U^H är matrisens hermiteska konjugat (transponering och komplexkonjugering av matrisens element).

En komplexvärd kvadratisk matris

 U =
\begin{pmatrix}
u_{11} & \cdots & u_{1n}\\
\vdots & \ddots &\vdots\\
u_{n1} & \cdots & u_{nn}
\end{pmatrix}

är således unitär om dess invers ges av

U^{-1} =
\begin{pmatrix}
\overline{u_{11}} & \cdots & \overline{u_{n1}}\\
\vdots & \ddots &\vdots\\
\overline{u_{1n}} & \cdots & \overline{u_{nn}}
\end{pmatrix},

där \overline{u_{kl}} betecknar komplexkonjugatet av det komplexa talet u_{kl}, det vill säga om

u_{kl} = a_{kl} + i b_{kl} \,

där a_{kl} och b_{kl} är reella tal, så är

\overline{u_{kl}} = a_{kl} - i b_{kl}.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Matrisen

U = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}

är unitär, eftersom

U \, U^H = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i^2 & 0 \\ 0 & -i^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

För en unitär matris U gäller

  • För två komplexa vektorer x och y, bevaras vektorernas inre produkt (skalärprodukt) vid multiplikation med U, det vill säga
\langle Ux,\ Uy \rangle = \langle x,\ y \rangle
  • |\det U|=1