Unitär matris

En unitär matris är en kvadratisk matris vars hermiteska konjugat även är dess invers, det vill säga

$UU^{H}=U^{H}U=I\,$

där I är enhetsmatrisen och $U^{H}$ är matrisens hermiteska konjugat (transponering och komplexkonjugering av matrisens element).

En komplexvärd kvadratisk matris

$U={\begin{pmatrix}u_{11}&\cdots &u_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\u_{n1}&\cdots &u_{nn}\end{pmatrix}}$

är således unitär om dess invers ges av

$U^{-1}={\begin{pmatrix}{\overline {u_{11}}}&\cdots &{\overline {u_{n1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {u_{1n}}}&\cdots &{\overline {u_{nn}}}\end{pmatrix}},$

där ${\overline {u_{kl}}}$ betecknar komplexkonjugatet av det komplexa talet $u_{kl}$, det vill säga om

$u_{kl}=a_{kl}+ib_{kl}\,$

där $a_{kl}$ och $b_{kl}$ är reella tal, är

${\overline {u_{kl}}}=a_{kl}-ib_{kl}.$

Exempel

Matrisen

$U={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}$

är unitär, eftersom

$U\,U^{H}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i^{2}&0\\0&-i^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I$

Egenskaper

För en unitär matris U gäller

• Egenvärdena till U har absolutbeloppet 1

• För två komplexa vektorer x och y, bevaras vektorernas inre produkt (skalärprodukt) vid multiplikation med U, det vill säga

$\langle Ux,\ Uy\rangle =\langle x,\ y\rangle$

• U är en normal matris

• U är diagonaliserbar

• $|\det U|=1$