Tröghetsmoment

Denna artikel handlar om en kropps motstånd mot rotationsändring. För en kropps motstånd mot böjning, se böjtröghetsmoment.

Tröghetsmoment är ett mått på motståndet att accelerera en kropps rotation. Tröghetsmomentet betecknas med I eller J, och används för att beskriva stela kroppars dynamik. Tröghetsmomentet har samma roll i rotationsrörelser som massa har för translationsrörelse. Tröghetsmoment introducerades av Euler.

Tröghetsmomentet för rotation runt en given axel beror av kroppens form och hur massan är fördelad i kroppen:

$I_0 = \sum_i r_i^2m_i,$

där r_i är avståndet från masselementet m_i till den givna rotationsaxeln.

Liksom moment varierar tröghetsmomentet beroende på referenssystemet, men genom att bestämma en kropps tröghetsmoment med avseende på en axel genom masscentrum kan sedan parallellaxelsatsen,

$I_0 = I + d^2m,$

användas för att omvandla tröghetsmomentet med avseende på godtycklig axel (parallell med den första) på avståndet d från masscentrum.

För kontinuerliga massfördelningar används integralen

$I_0 = \int\int\int_V r^2dm.$

dm är det kontinuerliga masselementet från ett volymselement,

$dm = \rho dV,$

där ρ är densiteten.

Tröghetstensorn

Tröghetsmoment mer generellt, när axeln inte är given, beskrivs av andra ordningens tensor (matris) I = I_ij:

$\bar{\bar{I}} = m(R\cdot R\bar{\bar{1}} - RR) = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix}$

För en stel kropp är tröghetstensorn summan av varje partikels moment: m → m_i, R → R_i. Elementen I_ii kallas för tröghetsmoment, medan elementen I_ij, i ≠ j, kallas för tröghetsprodukter eller deviationsmoment.

Tröghetstensorn beräknas så här:

$I_{11} = I_{xx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (y_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!$

$I_{22} = I_{yy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!$

$I_{33} = I_{zz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+y_{k}^{2}),\,\!$

$I_{12} = I_{xy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} y_{k},\,\!$

$I_{13} = I_{xz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} z_{k},\,\!$

$I_{23} = I_{yz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} y_{k} z_{k},\,\!$

och $I_{12}=I_{21}$, $I_{13}=I_{31}$, och $I_{23}=I_{32}$. ($I$ är alltså en symmetrisk tensor.)

Här betecknar $I_{xx}$ tröghetsmomentet runt x-axeln vid rotation runt samma axel, medan $I_{xy}$ betecknar tröghetsmomentet runt y-axeln vid rotation runt x-axeln, och så vidare.

Troghetstensorns form beror på valet av koordinatsystem för x,y,z. Det finns alltid ett val av koordinatsystem så att tröghetsmomentet kan skrivas

$\bar{\bar{I}} = \begin{bmatrix} I_{xx} & 0 & 0\\ 0 & I_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{zz} \end{bmatrix}.$

Detta moment motsvarar ett koordinatsystem som sammanfaller med principalaxlarna, i detta fall även benämnda huvudtröghetsaxlarna. Genom att välja principalaxlar fås ett tröghetsmoment som bara innehåller diagonalelement. Alternativt kan tröghetsmomentet diagonaliseras för att hitta principalaxlarna.

Exempel

Formler för tröghetsmoment i vanligt förekommande homogena kroppar med massa m.

	$I_z = \frac{1}{2} m\left({r_1}^2 + {r_2}^2\right)$ $I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]$ Ur detta kan man få tröghetsmomentet för några specialfall: Tunn stav ($r_1 \approx r_2 \approx 0$): $I_z = 0 \$ $I_x = I_y = \frac{m L^2}{12}$ Cylinderskal ($r_1 \approx r_2$): $I_z = m r^2 \$ $I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left(6r^2+h^2\right)$ Ring ($r_1 \approx r_2, h \approx 0$): $I_z = m r^2 \$ $I_x = I_y = \frac{m r^2}{2}$
	Tunn stav, fastsatt i ena ändpunkten: $I = \frac{1}{3} m L^2$
	Rektangulär bricka med sidorna a och b, fastsatt i brickans mitt: $I = \frac{1}{12} \cdot m \cdot (a^2 + b^2)$
	En rektangulär bricka med längden L och försumbar bredd, fastsatt i ena ändan: [förtydliga] $I = \frac{1}{3} \cdot m \cdot L^2$
	Ett massivt klot med radie R, fastsatt så att rotationsaxeln går genom klotets centrum: $I = \frac{2}{5} \cdot m \cdot R^2$ Ett klotformat skal (klot med inre radie r ≈ R): $I = \frac{2}{3} \cdot m \cdot R^2$