Vridmoment

Kraften i punkt B ger ett större vridmoment på muttern än samma kraft i punkt A.

Vridmoment eller kraftmoment är ett mått på en krafts förmåga att vrida ett objekt kring en viss axel. Det kan också beskrivas som den hävstångsverkan som kraften ger upphov till. Vridmomentet beror av kraften som verkar på hävarmen och hävarmens längd. Storheten vridmoment betecknas ofta med den grekiska bokstaven $\ \tau$ men andra bokstäver som M och N förekommer också. Den härledda SI-enheten för vridmoment är 1 newtonmeter (Nm). Tidigare mättes vridmoment ofta i kilopondmeter. Vridmoment kan uttryckas antingen som en skalär eller en vektoriell storhet.

Beräkning av vridmoment

En kraft F utövas från en position bestämd av lägesvektorn r relativt rotationsaxeln. Endast den vinkelräta komponenten F_⊥ ger upphov till ett vridmoment. Detta vridmoment τ = r × F har beloppet τ = |r| |F_⊥| = |r| |F| sinθ och har en riktning vinkelrät mot både r och F_⊥

Vridmomentet är proportionellt mot kraften $\ F$ och mot momentarmen, det vill säga mot det vinkelräta avståndet $\ell$ mellan kraftens verkningslinje och rotationscentrum O. Vridmomentet $\ \tau_o$ med avseende på $O$ kan tecknas

$\ \tau_o = F \ell$

Med vektornotation kan vridmomentet med avseende på O tecknas som kryssprodukten av $\ r$ och $\ F$:

$\mathbf{\tau}_o = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$

Om $\ \mathbf{r}$ är en vektor refererad från en punkt O är $\ \tau$ vridmomentet runt $O$. Om O är origo används ofta benämningen vridmomentet $\ \tau$.

Hävarmen är lägesvektorn $\ \mathbf{r}$. I det tvådimensionella fallet, med en kraft som är vinkelrät mot hävarmen, är momentet

$\tau = r \cdot F$

där

$\ r$ är hävarmens längd (magnituden av lägesvektorn $\ \mathbf{r}$),

$\ F$ är kraften (magnituden av kraftvektorn $\ \mathbf{F}$) och

$\ \tau$ är vridmomentet

Relation till rörelsemängdsmoment

Relationen mellan kraften (F), vridmomentet (τ) och rörelsemängdsmomentet (L) i ett roterande system.

Vridmomentet är ett mått på ändringen av en kropps rörelsemängdsmoment enligt

$\ \mathbf{\tau}_{\mathrm{O}}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_{\mathrm{O}}}{\mathrm{d}t}$

där $\ \mathbf{L}_{\mathrm{O}}$ är rörelsemängdsmomentet med avseende på en fix punkt O och $\ t$ är tiden. Motsvarande relation gäller även med avseende på kroppens masscentrum.

Därmed kommer vridmomentets vektor att ha samma riktning som den ändring av rörelsemängdsmomentets vektor som den orsakar. Speciellt förblir rörelsemängdsmomentet konstant om vridmomentet är lika med nollvektorn.

För en partikel kan relationen härledas från rörelsemängdsmomentets definition

$\mathbf{L}_{\mathrm{O}} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$

där $\ \mathbf{p}$ är rörelsemängden.

Genom att derivera med avseende på tiden erhålls

$\frac{d\mathbf{L}_{\mathrm{O}}}{dt} = \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} + \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p}$

vilket enligt definitionen av rörelsemängd, $\ p = m v$, kan skrivas som

$\frac{d\mathbf{L}_{\mathrm{O}}}{dt} = \mathbf{r} \times m \frac{d\mathbf{v}}{dt} + \mathbf{v} \times m\mathbf{v}.$

Den andra faktorn i den första termen i högerledet är enligt Newtons andra lag den totala kraft som verkar på partikeln, medan den andra termen är noll då den är kryssprodukten av två parallella vektorer och därmed erhålls den sökta relationen som

$\frac{d\mathbf{L}_{\mathrm{O}}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}\, = \mathbf{\tau}_{\mathrm{O}}.$

Motsvarande samband för en kropp med utbredning i rummet kan härledas på liknande sätt genom att modellera denna som ett system av partiklar som påverkar varandra med centralkrafter.

Associerade begrepp

Verkningslinjen är en tänkt linje parallell med kraften genom kraftens angreppspunkt.

Vridningsaxel är den axel runt vilken kroppen roterar.

Kraftpar

Ett kraftpar är två parallella lika stora krafter med motsatta riktningar vilka ger upphov till ett vridmoment vars belopp är $F r$ med avseende på en godtycklig axel vinkelrät mot kraftparets plan. Här är $F$ krafternas belopp och $r$ avståndet mellan deras verkningslinjer.

Förhållandet mellan vridmoment, kraft och energi

Om en kraft tillåts verka över en viss distans uträttas ett mekaniskt arbete. Om ett vridmoment verkar under en viss rotation uträttas likaså ett mekaniskt arbete. För rotation kring en fix axel genom en kropps tyngdpunkt kan detta arbete skrivas

$W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta,$

där $\ W$ är arbetet (energin), $\ \tau$ är vridmomentet, och θ₁ och θ₂ betecknar den initiala respektive slutliga vinkelpositionen för kroppen.

Effekt är arbete per tidsenhet och kan skrivas som

$P = \boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\omega},$

där $\ P$ är effekt, $\ \tau$ är vridmomentet, $\boldsymbol{\omega}$ är vinkelhastigheten, och · betecknar skalärprodukten.

Se även

• Moment
• Momentomvandlare
• Tröghetsmoment
• Rörelsemängdsmoment
• Vinkelacceleration