Cevian

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
För företaget Cevian Capital, se Cevian Capital.
En röd cevian i en blå triangel.

Inom geometrin betecknar en cevian ett linjesegment i en triangel som går från ett av hörnen till den motstående sidan (eller dess förlängning). Exempel på cevianer är bisektriser, höjder och medianer.[1]

Namnet kommer från den italienske ingenjören Giovanni Ceva (1648-1737) som 1678 publicerade det vi idag kallar Cevas sats i De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio.[2]

Längd[redigera | redigera wikitext]

Figur 2.

Allmänt kan en cevians längd beräknas enligt Stewarts sats (beteckningar enligt figur 2).

Median[redigera | redigera wikitext]

Om cevianen är en median är , vilket reducerar Stewarts sats till Apollonios sats

Bisektris[redigera | redigera wikitext]

Är cevianen en bisektris ges längden av

eller

. med

eller

, med semiperimetern .

Höjd[redigera | redigera wikitext]

Är cevianen en höjd ges dess längd antingen av Pythagoras sats enligt

eller av

, med semiperimetern .

Cevianer med gemensam skärningspunkt[redigera | redigera wikitext]

Figur 3. Tre cevianer som skär varandra i punkten O.

För tre cevianer som skär varandra i en gemensam inre punkt gäller allmänt följande delningsförhållanden (beteckningar enligt figur 3):[3]

(Cevas sats)

De två sista uttrycken är komplementära, eftersom om vi adderar vänsterleden får

De tre höjderna skär varandra i triangelns ortocentrum. De tre bisektriserna skär varandra in den inskrivna cirkelns medelpunkt. De tre medianerna skär varandra i (den geometriska) tyngdpunkten.[4] De tre cevianer som delar omkretsen i två lika delar (en sådan cevian kallas "splitter" på engelska) skär varandra i Nagels punkt.[5] De tre symmedianerna skär varandra i symmedianpunkten (även kallad Lemoines punkt eller Grebes punkt).[6]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Klassiska bevis: Cevas sats, del 1 på Mattebloggen.
  2. ^ Ceva Theorem på Encyclopedia of Mathematics.
  3. ^ Alfred S. Posamentier och Charles T. Salkind, 1988, Challenging Problems in Geometry, sid. 177-188. ISBN 0486691543.
  4. ^ Wafaa Chamoun, 2012, Utvalda satser utifrån plangeometri, Matematiska institutionen vid Stockholms Universitet, sid. 29 ff.
  5. ^ Weisstein, Eric W., "Splitter", MathWorld. (engelska)
  6. ^ Weisstein, Eric W., "Symmedian Point", MathWorld. (engelska)