Ortocentrum

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Figur 1. De tre höjderna AD, BE och CF i triangeln ABC.
Figur 2. De tre höjderna AD, BE och CF i den trubbvinkliga triangeln ABC. Deras förlängningar möts i ortocentrum, G.

Med ortocentrum avses inom geometrin den gemensamma skärningspunkten för höjderna (eller dessas förlängningar) i en triangel.[1] Med höjd avses sträckan (det räta linjesegmentet) från ett hörn till hörnets fotpunkt på den motstående sidan (eller dess förlängning). Höjden är en så kallad cevian.

Trianglar i planet[redigera | redigera wikitext]

Existensbevis[redigera | redigera wikitext]

Givet triangeln i figur 1 med hörnet i origo och sidan längs x-axeln i ett kartesiskt koordinatsystem. Hörnen , och har koordinaterna , respektive och , fotpunkten till , har koordinaterna . Om en sida har riktningskoefficienten , så har höjden som är vinkelrät mot sidan riktningskoefficienten , vilket ger ekvationerna för de tre höjderna (och dessas förlängningar):

Vi kallar skärningspunkten mellan och för , som enligt 1 har x-koordinaten , och får ur 2 att y-koordinaten är:

Detsamma får vi även ur 3:

Sålunda ligger även på och höjderna skär därmed varandra i en och samma punkt: ortocentrum.

Figur 1 visade en spetsvinklig triangel. I en trubbvinklig triangel (figur 2) får vi samma ekvationer. Riktningskoeffecienten för är förvisso negativ, men eftersom nu ligger på andra sidan om tar minustecknen ut varandra:

Om vinkeln i är rät blir och således även , det vill säga att ortocentrum ligger i det rätvinkliga hörnet.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

eller
(Bevis).
[2]

Sfäriska trianglar[redigera | redigera wikitext]

Figur 2. En sfärisk triangel på en sfär med mittpunkt i . Triangeln har höjderna , och . Höjdernas storcirklar skär varandra i punkterna och , triangelns båda ortocentra. Hela storcirkelplanet för sidan och för det mot detta vinkelräta storcirkelplanet för höjden har färgats, men ej övriga plan.

I en sfärisk triangel utgör sidor och höjder storcirkelbågar. Höjdens storcirkelplan är vinkelrätt mot den motstående sidans storcirkelplan. En sfärisk triangel har två ortocentra, eftersom två storcirklar alltid skär varandra i två punkter.

Existensbevis[redigera | redigera wikitext]

Betrakta den sfäriska triangeln i figur 2.

Vektorn är normal mot storcirkelplanet för sidan och sålunda parallell med storcirkelplanet för höjden . Vektorn är därför normal mot storcirkelplanet för höjden . På samma sätt är normal mot storcirkelplanet för höjden och normal mot storcirkelplanet för höjden . Eftersom dessa tre vektorer är linjärt beroende enligt Jacobi-identiteten:

måste de alltså antingen vara parallella eller koplanära. Att de är parallella är uteslutet eftersom detta skulle inneburit att de tre höjdernas storcirkelplan också skulle vara parallella, vilket är detsamma som att alla tre hörnen skulle ligga på samma storcirkel[3]. Sålunda ilgger de i samma plan. De tre storcirkelplanen för höjderna är vinkelräta mot de tre vektorernas plan och eftersom de tre höjdplanen har en gemensam punkt i sfärens medelpunkt skär de alltså varandra längs samma räta linje. Denna räta linjes båda skärningspunkter med sfärens yta är således skärningspunkterna för höjdernas storcirklar och därmed triangelns båda ortocentra, och .

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Trianglar på Geometriska figurer.
  2. ^ De trilinjära koordinaterna erhålles ur de barycentriska genom division med respektive sidas längd. (Bevis)
  3. ^ Tre punkter på en storcirkel är lika lite en sfärisk triangel som tre punkter på en rät linje är en plan triangel.