Bisektris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Bisektriserna till en triangel (röda linjer) skär varandra i en punkt
Konstruktion med passare och rätskiva.

En bisektris till en vinkel är en stråle från B genom en punkt D sådan att . En bisektris delar en vinkel i två lika delar (bisektris betyder "dela i två delar"). En vinkel har endast en bisektris. Varje punkt på en vinkels bisektris har samma avstånd till vinkelns sidor. Om en stråle delar en vinkel mindre än säger man att strålen är en inre bisektris. Den yttre bisektrisen är strålen som delar en vinkels supplementvinkel i två lika delar.

För att konstruera en vinkels bisektris med passare och rätskiva dras en cirkel vars centrum är vertex. Cirkeln korsar vinkelns sidor i två punkter. Med dessa två punkter som centrum, rita två cirklar med samma storlek som den första. Skärningspunkterna för cirklarna bestämmer en stråle som är vinkelns bisektris. Värt att notera är att en vinkel inte kan delas i tre lika stora delar med endast passare och rätskiva (detta bevisades först av Pierre Wantzel).

Triangel[redigera | redigera wikitext]

De tre bisektriserna till hörnen i en triangel skär varandra i en punkt, centrum för trianglens inskrivna cirkel.

Bisektrissatsen[redigera | redigera wikitext]

Figur 1: Bisektrissatsen: b/c = x/y. betecknar bisektrisens längd

En bisektris delar motstående sida i samma proportioner som längderna av de sidor som bildar den delade vinkeln:

(1)

Drag sidan CD med längden AC parallell med sidan AB (se figur 1). Då är trianglarna CDE och ABE likformiga och sambandet (1) följer.

Bisektrisens längd[redigera | redigera wikitext]

Om sidlängderna i en triangel är är halva omkretsen och om är motstående vinkel till sidan då är längden av bisektrisen till vinkeln

eller, med hjälp av av en trigonometrisk funktion,[1]

Om bisektrisen till vinkeln i triangeln har längden och delar motstående sida i två delar med längd och då är

där och är sidor motstående till hörnen och .

Om bisektriserna till vinklarna och har längderna och då är [2]

Inga två icke-kongruenta trianglar har samma mängd av bisektriser.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Oxman, Victor. "On the existence of triangles with given lengths of one side and two adjacent angle bisectors", Forum Geometricorum 4, 2004, 215–218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf
  2. ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).