Digon

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
En sfärisk digon avgränsad av två storcirkelbågar.
Den euklidiska digonen AB.
Månskäror avgränsas av två storcirklar[1]: dels den storcirkel som skiljer den synliga halvan från den dolda och dels den storcirkel (terminatorn) som skiljer den solbelysta halvan från den icke solbelysta. Månskäror avgränsas av två storcirklar[1]: dels den storcirkel som skiljer den synliga halvan från den dolda och dels den storcirkel (terminatorn) som skiljer den solbelysta halvan från den icke solbelysta.
Månskäror avgränsas av två storcirklar[1]: dels den storcirkel som skiljer den synliga halvan från den dolda och dels den storcirkel (terminatorn) som skiljer den solbelysta halvan från den icke solbelysta.

Digon[2] (från grekiska διγωνον[3] digonon "tvåhörning", av δι- di- "två-" och γωνία gonia "hörn") eller biangel[4] (latin bis, "två" och angulus "hörn" eller "vinkel") används ofta som beteckning för en "tvåhörning" inom sfärisk geometri, men en allmänt vedertagen svensk beteckning saknas.[5] Även benämningen månskära, jämför engelska (spherical) lune, har använts[6].

Inom Euklidisk plangeometri anses en digon vara en degenererad polygon, ett linjesegment.[7] De båda hörnvinklarna i linjesegmentets ändpunkter är lika med noll (0°) och de båda "sidorna" utgörs av segmentets båda sidor. Antalet sidor är lika med antalet hörn och och formeln för vinkelsumman hos en polygon gäller tack vare denna "något krystade" definition för den plangeometriska digonen.

Digonens Schläfli-symbol är {2}.

Sfäriska digoner[redigera | redigera wikitext]

En sfärisk digon definieras av två storcirklar, vilka skär varandra i två diametralt motsatta antipoder: digonens hörn. De båda hörnvinklarna är lika stora (och har samma värde som vinkeln mellan de båda storcirkelplanen).

Digonens båda sidor har samma längd: på en enhetssfär är sidlängden lika med och på en sfär med radien är sidlängden

Arean ges av:

där är hörnvinkeln och är sfärens radie. Hörnvinkeln tar upp av ett helt varv, , och digonen täcker såunda av sfärens totala area, vilken är .

På en enhetssfär (med ) är arean:

På samma sätt är volymen av den "klyfta"[8] som begränsas av digonen och de båda storcirkelplanen lika med

eftersom volymen är av sfärens totala volym, vilken är .

"Kolunära" trianglar[redigera | redigera wikitext]

De tre kolunära trianglarna (, och ) till (blå) är markerade med gult.
De fyra paren av inbördes kongruenta trianglar har i figuren givits varsin färg.

Om en tredje storcirkel skär digonens sidor delas den i två sfäriska trianglar. Dessa trianglar används i en del härledningar inom sfärisk trigonometri (som Girards sats och Napiers analogier). De kallas co-lunar triangles på engelska, men saknar vedertagen beteckning på svenska. Här kallas de "kolunära trianglar" som direkt försvenskning av det engelska uttrycket.

Betrakta den kolunära triangeln (figur till höger) till som har sidan och hörnen och gemensamma med medan hörnet är diametralt motsatt . Om sidlängderna för betecknas , och och hörnvinklarna , och har vi:

Motsvarande gäller för de kolunära trianglarna (som har sidan gemensam) och (som har sidan gemensam).

Om man kan visa att en formel som gäller för sidlängderna och hörnvinklarna i även gäller med sidlängderna och hörnvinklarna för en till kolunär triangel har man visat att den gäller för alla de åtta trianglar som definieras av de tre storcirklarna. Dessa åtta trianglar är parvis kongruenta eftersom, exempelvis, både och den diametralt motstående har samma hörnvinklar och sidlängder.[9] Tre storcirklar definierar sålunda fyra par av kongruenta trianglar på en sfärs yta, vilka representeras av vardera , , respektive - det vill säga av en triangel och de tre med denna kolunära trianglarna.

Hosoeder[redigera | redigera wikitext]

En tessellation av en sfär i digoner kallas hosoeder[10] (grekiska οσόεδρο, osoedro, "mångsiding", från οσόσ osos, många[11]). Beteckningen härstammar från den italienske astronomen och matematikern Vito Caravelli[12] som behandlade den i tredje boken (De Hosoedris) av Archimedis theoremata 1751.[13] Är digonerna likstora kallas hosoedern regelbunden och digonernas hörnvinklar är , där anger antalet sidor (=digoner). Hosoederns Schläfli-symbol är {2,n}.

Regelbundna hosoedrar
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Spherical digonal hosohedron.png Spherical trigonal hosohedron.png Spherical square hosohedron.png Spherical pentagonal hosohedron.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical heptagonal hosohedron.png Spherical octagonal hosohedron.png Spherical enneagonal hosohedron.png Spherical decagonal hosohedron.png

Referenser och noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Om man bortser från de små obetydliga vinklar som uppstår av geometriska skäl på grund av att avstånden mellan himlakropparna bara är mycket stora, och inte oändliga (obetydligt mindre än halva månen ses från en bestämd plats på jorden), och att solen är större än månen (obetydligt mer än halva månen är därför solbelyst, om än inte till 100%).
  2. ^ Digon används i bland annat Torbjörn Tambour, 2015, Lite sfärisk geometri och trigonometri, sid. 2.
  3. ^ Men grekerna kallar den σφαιρικός μηνίσκος sphairikos meniskos; meniskos är diminutiv av μήνη, mene "måne" och betyder månskära.
  4. ^ Biangel används i bland annat Peter Sjögren, Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta, Göteborgs Univeritet, sid. 326.
  5. ^ Se, "lune=biangle" i Graneli Engelsk - svensk ordlista för högskolematematiken, Luleå Tekniska Högskola, sid. 24. Graneli föreslår "meridianremsa".
  6. ^ Månskära används i Pernilla Tunis, 2012, Sfärisk geometri och kartprojektion, Jyväskylä universitet, Institutionen för matematik och statistik, sid. 11.
  7. ^ Digon på Wolfram MathWorld.
  8. ^ I meningen "apelsinklyfta" eller liknande.
  9. ^ och är ju antipoder, liksom paren och och vi har sålunda ett symmetricentrum i sfärens medelpunkt.
  10. ^ Hosohedron på MathWorld.
  11. ^ Steven Schwartzman, 1994, The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English, sid. 109. ISBN 9780883855119.
  12. ^ H.S.M. Coxeter, 1974, Regular Complex Polytopes, sid. 20. ISBN 052120125X.
  13. ^ Vito Caravelli, 1751, Archimedis theoremata, sid. 152: "Liber tertius: De Hosoedris."