EF-ring

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En EF-ring eller ring med entydig faktorisering, är en heltalsring där varje, från noll skilt och icke inverterbart, element entydigt kan skrivas som en produkt av irreducibla element. Begreppen irreducibelt element och primelement sammanfaller i en sådan ring.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Ekvivalenta krav för en ring att ha entydig faktorisering[redigera | redigera wikitext]

Ett noethersk integritetsområde har entydig faktorisering om och bara om varje primideal av höjd är principalt. En Dedekinddomän har entydig faktorisering om och bara om dess idealklassgrupp är trivial. I detta fall är den faktiskt en principalidealdomän.

Det finns även ekvivalenta krav för icke-noetherska integritetsområden. Låt A vara ett integritetsområde. Då är följande ekvivalenta.

  1. A är en EF-ring.
  2. Varje nollskilt primideal av A innehåller ett primelement. (Kaplansky)
  3. A satisfierar stigande kedjekravet för primideal (SKP), och lokaliseringen S−1A är en EF-ring, där S är en multiplikativt sluten delmängd av A genererad av primelement. (Nagatas kriterium)
  4. A satisfierar SKP och varje irreducibelt element är ett primelement.
  5. A är atomisk och varje irreducibelt element är ett primelement.
  6. A är en SGD-domän (i.e., varje två element har en största gemensamma delare) som satsifierar SKP.
  7. A är en Schreierdomän och atomisk.
  8. A är en pre-Schreierdomän och är atomisk.
  9. A har en delarteori där varje delare är principal.
  10. A är en Krulldomän där varje divisoriellt ideal är principal.
  11. A är en Krulldomän och varje primideal av höjd 1 är principal.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Herstein: Topics of Algebra, Blaisdell Publishing Company, 1964.