Den här artikeln handlar om den matematiska heltalsföljden. För det dimensionslösa talet, se Eulertal (fysik) .
Eulertalen är heltalsföljd som förekommer i samband med Taylorserier samt i talteori och kombinatorik . Dessvärre finns flera olika konventioner för vad som avses med det n -te Eulertalet: ofta tar man med nollor och negativa tecken i sekvensen, för vilket beteckningen En kommer att användas i följande text, medan man i andra tillämpningar bara är intresserad av de nollskilda Eulertalens absolutvärden (här E *n
E *1 = 1E *2 = 5E *3 = 61E *4 = 1385E *5 = 50521E *6 = 2702765E *7 = 199360981E *8 = 19391512145E *9 = 2404879675441E *10 = 370371188237525E *11 = 69348874393137901(talföljd A000364 i OEIS )
E 0 = 1E 2 = −1E 4 = 5E 6 = −61E 8 = 1385E 10 = −50521E 12 = 2702765E 14 = −199360981E 16 = 19391512145
E 1, 3, 5, ... = 0(talföljd A122045 i OEIS )
och sambandet
E
2
n
=
(
−
1
)
n
E
n
∗
.
{\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n}E_{n}^{*}.}
Talen definieras av de genererande funktionerna
s
e
c
x
=
∑
k
=
0
∞
|
E
k
|
x
k
k
!
=
∑
k
=
0
∞
E
k
∗
x
2
k
(
2
k
)
!
=
1
+
x
2
2
+
5
x
4
24
+
61
x
6
720
+
277
x
8
8064
+
…
{\displaystyle \mathrm {sec} \;x=\sum _{k=0}^{\infty }|E_{k}|{\frac {x^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }E_{k}^{*}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+\ldots }
s
e
c
h
x
=
∑
k
=
0
∞
E
k
x
k
k
!
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
E
k
∗
x
2
k
(
2
k
)
!
=
1
−
x
2
2
+
5
x
4
24
−
61
x
6
720
+
277
x
8
8064
−
…
{\displaystyle \mathrm {sech} \;x=\sum _{k=0}^{\infty }E_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}E_{k}^{*}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}-\ldots }
där sec betecknar den trigonometriska funktionen 1/cos och sech motsvarande hyperboliska funktion 1/cosh.
Eulertalen förekommer även som specifika värden för Eulerpolynomen .
Asymptotiskt växer talen som
E
2
n
∼
(
−
1
)
n
8
n
π
(
4
n
π
e
)
2
n
.
{\displaystyle E_{2n}\sim (-1)^{n}8{\sqrt {\,{\frac {n}{\pi }}}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}
De kan även beräknas med integralen
∫
0
∞
ln
n
(
x
)
1
+
x
2
d
x
=
|
E
n
|
(
π
2
)
n
+
1
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln ^{n}(x)}{1+x^{2}}}\,dx=|E_{n}|\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{n+1}.}
Explicita formler Ändlig summa Eulertalen ges av formeln
E
2
n
=
i
∑
k
=
1
2
n
+
1
∑
j
=
0
k
(
k
j
)
(
−
1
)
j
(
k
−
2
j
)
2
n
+
1
2
k
i
k
k
{\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}{\frac {(-1)^{j}(k-2j)^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}}}
där i är den imaginära enheten .
Determinant E 2n kan även definieras som determinanten
E
2
n
=
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
|
1
2
!
1
1
4
!
1
2
!
1
⋮
⋱
⋱
1
(
2
n
−
2
)
!
1
(
2
n
−
4
)
!
1
2
!
1
1
(
2
n
)
!
1
(
2
n
−
2
)
!
⋯
1
4
!
1
2
!
|
.
{\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}
Se även 
