Absolutbelopp

Graf över absolutvärdesfunktionen för reella tal

Ett tals absolutvärde kan tolkas som talets avstånd till origo

Absolutbeloppet, ibland kallat absolutvärdet eller beloppet av ett tal x betecknas |x| och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0-punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen.

Absolutbeloppet av ett reellt tal x definieras av

$|x|=\left\{{\begin{matrix}x,&x\geq 0\\-x,&x<0\end{matrix}}\right.$

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + bi definieras av

$|z|={\sqrt {zz^{*}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

(se kvadratrot och komplexkonjugat.)

För en vektor v = (x₁, x₂,..., x_n), kallas ibland vektorns längd för vektorns absolutbelopp eller belopp:

$|\mathbf {v} |={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}$

Den vanliga benämningen är dock vektorns norm och betecknas $||\mathbf {\bar {v}} ||$.

Egenskaper

Om a och b är komplexa tal gäller att

1. $|a|\geq 0$
2. $|a|=0\Leftrightarrow a=0$
3. $|ab|=|a||b|\,$
4. $\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}$
5. $|a+b|\leq |a|+|b|$ (triangelolikheten)
6. $|a-b|\geq ||a|-|b||$ (omvända triangelolikheten)
7. $|a|={\sqrt {aa^{*}}}$, där a^* är det komplexkonjugerade värdet av a

Om a och b är reella gäller även

8. $|a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b,b\geq 0$

Anledningen till att man använder begreppet norm för vektorer är att multiplikationsregeln gäller ett reellt tal $a$ och en vektor $\mathbf {\bar {v}}$:

• $||a\cdot \mathbf {\bar {v}} ||=|a|\cdot ||\mathbf {\bar {v}} ||$

Exempel

$\ |5|=5$

$\ |-5\,|=5$

$\ |\,1+\mathrm {i} \,|={\sqrt {2}}$

Se även

• Norm (matematik)

Referenser

Källor

• Karush, William; Jan Thomson och Bertil Rahm (1962). Matematisk uppslagsbok. Wahlström & Widstrand 

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Absolutbelopp.
  Bilder & media