Fraktal

En fraktal brukar definieras som "ett självlikformigt mönster med struktur i alla skalor", vilket betyder att det liknar sig självt på samma sätt som ett träds grenar i sin tur har likadana fast mindre grenar, en så kallad naturlig fraktal. De fraktala mönstren (i 2D) eller strukturerna (vid 3D) skapas vanligtvis genom olika matematiska transformationer som upprepas (itereras) ett stort antal gånger.

Historia

Ordet fraktal konstruerades på 1970-talet av den franske matematikern Benoît B. Mandelbrot och kommer av latinets fractus som betyder "bruten" (fraktion) och syftar på att fraktaler ofta har dimensionstal som inte är heltal. En sierpinskitriangel har till exempel dimensionen $log3/log2$ vilket är ungefär 1,58496. Mandelbrot är för övrigt den person som sett till att popularisera fraktalmatematik men han var inte den förste att arbeta med liknande system. Redan ca 100 år tidigare skapades de första fraktala funktionerna av bland annat Georg Cantor och Giuseppe Peano. Även svensken Helge von Koch var tidigt ute och beskrev redan år 1904 Koch-kurvan och von Kochs snöflinga. Andra pionjärer var till exempel: Pierre Fatou, Gaston Julia och Karl Menger.

Fraktalers dimension

Fraktaler har ofta en dimension som inte är ett heltal. Med detta menar man att det inte går att mäta storleken på en fraktal med vanliga längd-, area- eller volymmått. Exempelvis har von Kochs snöflingekurva oändlig längd, men arean noll. Använder man däremot ett mått som mäter i dimensionen ln 4/ln 3, snöflingekurvans dimension, får man att den har ändlig storlek. Det finns flera olika sätt att konstruera mått som mäter icke-heltalsdimensioner, ett exempel är följande:

Lägg ett rutnät över mängden vi ska mäta, med bredden delta på rutorna. Låt antalet rutor som mängden tillhör vara N(δ). Om vi låter δ → 0 så är mängdens mått i dimension d gränsvärdet av N(δ)δ^d. Om mängden är en kurva och d = 1 så blir detta mått lika med kurvans längd, om mängden är en yta och d = 2 så blir detta mått lika med ytans area. Å andra sidan om mängden är en kurva och d = 2 så blir måttet 0, vilket är rimligt eftersom en kurva har arean 0. Om vi använder detta mått för att mäta storlek, så får vi att en fraktal har ändligt mått större än noll om och endast om d är lådräkningsdimensionen. Ett annat mått som kan mäta icke-heltalsdimensioner är Hausdorffmåttet. Om en fraktal har ändligt och positivt Hausdorffmått av dimension d, har den Hausdorffdimensionen d. I många fall, men inte alla, överensstämmer lådräkningsdimensionen med Hausdorffdimensionen.^[1]

Naturens matematik

För att skapa en ormbunksliknande fraktal som i Figur 1 används ett itererat funktionssystem ("IFS") där funktionerna är ett system av fyra olika affina transformationsregler. Den affina transformationens formel kan se ut på följande sätt:

\ {x_{n+1}=ax_{n}-cy_{n}+e}

\ {y_{n+1}=bx_{n}+dy_{n}+f}

För att skapa ormbunksbladet så har konstanterna i de fyra reglerna följande värden:

IFS	a	b	c	d	f
1	0,0	0,35	0,0	0,0	0,7
2	0,2	0,23	0,26	0,22	1,3
3	-0,15	0,26	-0,28	0,24	0,44
4	0,85	-0,04	-0,04	0,85	1,6

Den första regeln är den som skapar bladets "stam" och som synes är konstanterna a, c, e samtliga lika med 0 (noll) vilket kommer att sätta variabeln x till noll. Stammen har ingen bredd, bara höjd, vilket betyder att den har endast en dimension. Anledningen till att den syns är endast den att datorgrafik är digital, skärmens punkter har en minsta möjlig utbredning (det går inte att visa mindre än en pixel). Som nämnts ovan är en fraktal självsimulerande. De övriga reglerna kopierar stammen och skapar de mindre (sekundära) bladens stammar som inte heller de är utbredda i mer än en dimension. Upprepas någon av dessa regler flera gånger i rad kommer stammen för den tredje nivån att skapas och så vidare Hela ormbunksbladet består egentligen inte av något annat än bladstammar som inte har någon utbredning. Om man betraktar det från en strikt matematisk synvinkel skulle det vara osynligt. Bladet syns endast på grund av att det visas med den digitalt begränsade datorgrafiken och är alltså inte någon matematisk beräkning som skapar ett ormbunksblad, bara endimensionella linjer som egentligen är osynliga. Ett riktigt ormbunksblad däremot består av tredimensionella celler av flera olika typer.

”	De ekvationssystem som beskriver modellsystem inom modern teoretisk ekologi är kända för sina kaotiska beteenden, så mycket att de numera har ett mycket större intresse som leksaker, eller en ny slags grafik. Naturliga fenomens matematik blir, när de begränsas till en enstaka disciplin, så intrikat och komplicerad att värld efter värld av färgglada abstraktioner öppnar sig för varje ny nivå som undersöks. Det är inte så konstigt att de som ägnar sig åt detta inom olika ämnesområden tror att det fantasivärldar de ser ger glimtar av den verkliga världen, när de i själva verket gått vilse i Mandelbrots fraktalvärld.	„
– James Lovelock i boken The Ages of Gaia

Kända fraktaler

Kända fraktalister

Exempelbilder av fraktaler

**Linjära fraktaler i 2D:**
Sierpinskitriangel	von Kochs snöflinga	Harter-Heighways drakkurva

**Linjära fraktaler i 3D:**
Sierpinskitetraed	Cantordamm	Mengers tvättsvamp

**Icke linjära fraktaler:**
Mandelbrotmängden	Newton-Raphsons iterationsmetod	Juliamängden

Se även

Den här artikeln ingår i boken:
Matematik

Referenser

^ Falconer, K. (1990), Fractal geometry: Mathematical foundations and applications

Externa länkar

Wikimedia Commons har media som rör Fraktal.
Bilder & media

Vidare läsning

Media

Program som skapar fraktaler

Ultra Fractal - Populärt program för Microsoft Windows.
Fractint - Finns till de flesta plattformar.
Makin' Magic Fractals
ChaosPro - till Microsoft Windows.
Xaos - Realtidsgenerator - Windows, Mac, Linux, etc.
FractWall - Javaprogram för att generera STORA fraktalbilder
FLAM3 - Avancerad IFS-editor och renderare för de flesta plattformar.
Online Fractal Generator On-line javabaserad fraktalgenerator.
Illusions IFS Generator — Fraktalprogram och galleri.
Online Fractal Explorer — En snabb webbaserad mandelbrotutforskare. Genererade fraktaler kan sparas, kommenteras och betygsättas i användarnas galleri.
Sterling2 freeware genererade fraktaler (Windows)

[falconer-1] Falconer, K. (1990), Fractal geometry: Mathematical foundations and applications

[1]