Gelfonds konstant

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Ej att förväxla med Gelfond–Schneiders konstant.

Inom matematiken är Gelfonds konstant den matematiska konstanten:

e^\pi,\,

det vill säga e upphöjt till π. Talet är transcendent, precis som e och π för sig, vilket följer av att

 e^\pi\;=\;(-1)^{-i}

Eftersom −i är algebraiskt men inte rationellt är eπ enligt Gelfonds sats transcendent. Konstanten omnämns i Hilberts sjunde problem.

Talet har decimalbråksutvecklingen (talföljd A039661 i OEIS)

23,1406926327792690057290863...

och kedjebråksutvecklingen (talföljd A058287 i OEIS)

[23, 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 23, ...].

Om man definierar \scriptstyle k_0\,=\,\tfrac{1}{\sqrt{2}} och

k_{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-k_n^2}}{1+\sqrt{1-k_n^2}}

för n > 0. då konvergerar sekvensen

(4/k_{n+1})^{2^{-n}}

snabbt mot e^\pi.

Se även[redigera | redigera wikitext]