Hessmatris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En funktions hessematris, alt. hessian, är en kvadratisk matris innehållande funktionens alla partiella andraderivator.

Låt vara en funktion med existerande andraderivator. Då kan funktionens partiella andraderivator ordnas i funktionens hessian enligt:

där och är differentieringsoperatorn med avseende på det i:te argumentet, alltså

Hessianer används främst inom optimering.

Symmetri[redigera | redigera wikitext]

Om funktionen har kontinuerliga andraderivator, gäller att [1]

Om så är fallet kommer funktionens hessian att bli en symmetrisk matris.

Hessianer och taylorutvecklingar[redigera | redigera wikitext]

Taylorutveckling av andra ordningen till en funktion med två variabler ser ut som följer:

Låt funktionen vara en funktion med (åtminstone) kontinuerliga tredjederivator i den öppna mängden M, och antag att punkten (a, b) tillhör M. Då ser taylorutvecklingen kring denna punkt ut enligt följande:

där B(h, k) är en begränsad funktion i en omgivning av origo.

Vid funktionsstudier är den tredje termen

viktig för att avgöra om punkten (a, b) är lokalt maximum, lokalt minimum eller ingetdera. Denna term ger den kvadratiska formen. Genom att ordna termernas koefficienter (de partiella andraderivatorna) i en symmetrisk matris,

kan man ta fram matrisens egenvärden, och med hjälp av dessa också hur funktionen beter sig kring punkten (a, b) (se längre ner). Matrisen är, som synes, funktionens hessian.

För en funktion av n variabler fungerar det på liknande sätt. Där erhålls den kvadratiska formen för en funktion kring punkten enligt

och den tillhörande hessianen får sitt karakteristiska utseende.

Funktionsstudier med hessianer[redigera | redigera wikitext]

Vid funktionsstudier kan det vara av intresse att veta till exempel om funktionen är konvex eller konkav. Vi antar att funktionen av flera variabler, är en två gånger deriverbar funktion definierad på en konvex mängd M. Då gäller att [2]:

  • är en konvex funktion på M om dess hessian är positivt semi-definit för alla
  • är en strikt konvex funktion på M om dess hessian är positivt definit för alla
  • är en konkav funktion på M om dess hessian är negativt semi-definit för alla
  • är en strikt konkav funktion på M om dess hessian är negativt definit för alla

För att avgöra hessianens teckenkaraktär kan man undersöka hessianens egenvärden. Genom att lösa sekularekvationen

där E är enhetsmatrisen, kommer vi att få ut hessianens egenvärden För dessa gäller:

Om alla är hessianen positivt semi-definit.
Om alla är hessianen positivt definit.
Om alla är hessianen negativt semi-definit.
Om alla är hessianen negativt definit.

Om ingen av dessa gäller, är funktionen indefinit, och således varken konvex eller konkav.

Detta kan användas på en funktion för att se om den vid någon viss punkt har lokalt extremvärde. Det är precis detta man applicerar på kvadratiska former (se taylorutveckling av andra ordningen i flera variabler).

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ A Persson, L-C Böiers (2005) Analys i flera variabler, ISBN 91-44-03869-0, sid 87, sats 9
  2. ^ J Lundgren, M Rönnqvist, P Värbrand (2003) Optimeringslära, ISBN 91-44-03104-1, sid 300, sats 9.5-9.6

Se även[redigera | redigera wikitext]