Symmetrisk matris

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
En symmetrisk matris med fem rader och fem kolonner.
En symmetrisk matris med fem rader och fem kolonner.

En symmetrisk matris är inom linjär algebra, en matris sådan att den är identisk med sitt transponat:

Om matrisen har elementen aij är aij = aji för en symmetrisk matris. Man kan också uttrycka detta som att rad k i en symmetrisk matris har samma element, i samma ordning, som kolonn k.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

M är symmetrisk, eftersom MT = M.

A nedan är dock inte symmetrisk, vilket man kan se genom att jämföra elementen i A med elementen i A:s transponat, AT:

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Symmetriska matriser har alltid en ortonormerad bas av egenvektorer, enligt spektralsatsen, vilket innebär att om A är symmetrisk kan A diagonaliseras med en ortogonalmatris, det vill säga, det finns en diagonalmatris D och en ortogonalmatris T sådan att

.

där elementen i D:s diagonal är A:s egenvärden.

Om A är en reell matris så är matrisen ATA symmetrisk, om matrismultiplikationen är tillåten. Detta kan visas med hjälp av räknereglerna för transponat:

Symmetrisk avbildning[redigera | redigera wikitext]

En symmetrisk linjär avbildning är en avbildning sådan att

för alla reella vektorer u och v. I en ortonormerad bas motsvarar en symmetrisk avbildning en symmetrisk matris på ett entydigt sätt. För att bevisa detta noteras att skalärprodukten i en sådan bas kan skrivas på matrisformen

där u och v är kolonnmatriser. Om avbildningen representeras av matrisen i den givna basen kan definitionen skrivas som

Om blir transponatet av vänsterledet lika med högerledet. Eftersom vänsterledet är en 1x1-matris är den lika med sitt transponat, så är symmetrisk. Om man utgår från att är symmetrisk får man på samma sätt att

och om detta ska gälla för alla u och v måste

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.