Symmetrisk matris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En symmetrisk matris är inom linjär algebra, en matris sådan att den är identisk med sitt transponat:

Om matrisen har elementen aij är aij = aji för en symmetrisk matris. Man kan också uttrycka detta som att rad k i en symmetrisk matris har samma element, i samma ordning, som kolonn k.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

M är symmetrisk, eftersom MT = M.

A nedan är dock inte symmetrisk, vilket man kan se genom att jämföra elementen i A med elementen i A:s transponat, AT:

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Symmetriska matriser har alltid en ortonormerad bas av egenvektorer, enligt spektralsatsen, vilket innebär att om A är symmetrisk kan A diagonaliseras med en ortogonalmatris, det vill säga, det finns en diagonalmatris D och en ortogonalmatris T sådan att

.

där elementen i D:s diagonal är A:s egenvärden.

Om A är en reell matris så är matrisen ATA symmetrisk, om matrismultiplikationen är tillåten. Detta kan visas med hjälp av räknereglerna för transponat:

Symmetrisk avbildning[redigera | redigera wikitext]

En symmetrisk linjär avbildning är en avbildning sådan att

för alla reella vektorer u och v. I en ortonormerad bas motsvarar en symmetrisk avbildning en symmetrisk matris på ett entydigt sätt. För att bevisa detta noteras att skalärprodukten i en sådan bas kan skrivas på matrisformen

där u och v är kolonnmatriser. Om avbildningen representeras av matrisen i den givna basen kan definitionen skrivas som

Om blir transponatet av vänsterledet lika med högerledet. Eftersom vänsterledet är en 1x1-matris är den lika med sitt transponat, så är symmetrisk. Om man utgår från att är symmetrisk får man på samma sätt att

och om detta ska gälla för alla u och v måste

Se även[redigera | redigera wikitext]