Kirchhoffs lagar

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Kirchhoffs lagar är inom strömkretsläran två lagar som kompletterar Ohms lag och som gör det möjligt att ställa upp ekvationsystem för att beräkna strömmarna och spänningarna i en elektrisk krets.

Lagarna är uppkallade efter den tyske fysikern Gustav Kirchhoff. Den första lagen är Kirchhoffs strömlag som beskriver hur strömmar grenar sig i en krets. Den andra, Kirchhoffs spänningslag, beskriver hur spänningar fördelas i en krets.

Kirchhoffs strålningslag handlar om värmestrålning.

Kirchhoffs strömlag[redigera | redigera wikitext]

En nod

Första lagen, Kirchhoffs strömlag (också kallad KCL), gäller för strömmar i ett elektriskt nät:

Summan av alla elektriska strömmar som flyter till en nod är lika med summan av alla strömmar som flyter från noden,

eller

i_1 + i_2 + ... + i_n = 0 \,

där i_k betecknar en nodström.

Inkommande ström har positivt tecken och utgående ström negativt.

Lagen är baserad på laddningens bevarande, varigenom laddningen (mätt i coulomb) är produkten av strömmen (i ampere) och tiden (i sekunder).

Om den numeriska lösningen ger negativa värden för vissa strömmar, innebär detta att de korrekta strömriktningarna är motsatta de antagna riktningarna för dessa strömmar.

Kirchhoffs spänningslag[redigera | redigera wikitext]

En sluten krets

Andra lagen, Kirchhoffs spänningslag (också kallad KVL), gäller för spänningar i ett elektriskt nät:

Summan av samtliga emk's som ingår i en sluten krets är lika med summan av potentialfallen, eller

 u_1 + u_2 + ... + u_n = 0  \,

där u_k betecknar en potentialändring.

Denna lag bygger på bevarandet av energi, varvid spänningen definieras som energi per enhetsladdning. Den totala mängden energi som vunnits per enhetsladdning skall motsvara den mängd energi som förlorats per enhetsladdning då energi och laddning båda skall vara bevarade.

Vid tillämpning av spänningslagen tilldelas varje nätgren en spänning med godtycklig polaritet, såvida denna inte är känd. Om lösningen ger en negativ spänning innebär detta att den verkliga polariteten är den antagnas motsatta polaritet.

Begränsningar[redigera | redigera wikitext]

KCL och KVL förutsätter båda en kretsmodell där egenskaperna resistans, kapacitans, induktans är koncentrerade till idealiserande elektriska komponenter; att resistorer, kondensatorer, induktorer etcetera är förenade till ett nätverk av perfekt ledande trådar. Om denna modell inte uppfylls, kan lagarna inte tillämpas.

KCL, är i sin vanliga form beroende av antagandet att strömmen endast flyter i ledare och att när ström flyter in i en ände av en ledare flödar den genast ut i andra änden. Detta är inte ett säkert antagande för högfrekventa AC-kretsar, där ovannämnda elementmodell inte längre är tillämplig. Det är ofta möjligt att förbättra tillämpningen av KCL genom att anta förekomsten av "parasitkapacitanser" fördelade längs ledarna. Betydande kränkningar av KCL kan uppstå vid en så låg frekvens som 50 Hz.

Med andra ord, är KCL giltigt endast om den totala elektriska laddningen Q förblir konstant i området som studeras. I praktiken är detta fallet när KCL appliceras på en geometrisk punkt. Det dock möjligt att laddningsdensiteten inom den studerade regionen kan förändras. Eftersom laddningen är bevarad, kan detta endast ske genom ett flöde av laddningar över regionens gräns. Detta flöde är en nettoström och KCL kränks.

KVL är baserad på antagandet att det inte finns något fluktuerande magnetfält som förbinder den slutna slingan med en annan region. Detta är inte ett säkert antagande för högfrekventa (kort våglängd) AC-kretsar. I närvaro av ett föränderligt magnetfält är det elektriska fältet inte ett konservativt vektorfält. Därför kan det elektriska fältet inte kan vara gradienten till en potential, det vill säga, linjeintegralen av det elektriska fältet runt slingan är inte noll, vilket direkt motsäger KVL.

Det är ofta möjligt att förbättra tillämpningen av KVL genom att anta att "parasitiska induktanser" (inklusive ömsesidiga induktanser) är fördelade längs ledarna. Dessa behandlas som imaginära kretselement som ger spänningsfall som motsvarar det ”störande” magnetiska flödets förändringshastighet.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Kirshhoff-example.svg

Antag en elektrisk krets bestående av två spänningskällor och tre resistorer. Enligt första lagen är

 i_1 - i_2 - i_3 = 0\,

Andra lagen tillämpad på den slutna kretsen s1 ger

 -R_2 i_2 + \epsilon_1 - R_1 i_1 = 0\,

Andra lagen tillämpad på den slutna kretsen s2 ger

 -R_3 i_3 - \epsilon_2 -\epsilon_1 + R_2 i_2 = 0\,

Vi får således ett linjärt ekvationssystem i i_1, i_2, i_3\,:

\begin{cases}
i_1 - i_2 - i_3 &= 0 \\
-R_2 i_2 + \epsilon_1 - R_1 i_1 &= 0 \\
-R_3 i_3 - \epsilon_2 -\epsilon_1 + R_2 i_2 &= 0 \\
\end{cases}

Med


R_1 = 100,\, R_2 = 200,\, R_3 = 300\,\text{(ohm)};\, \epsilon_1 = 3,\, \epsilon_2 = 4\, \text{(volt)}

blir lösningen

\begin{cases}
i_1 = \frac{1}{1100} \\
i_2 = \frac{4}{275} \\
i_3 = -\frac{3}{220} \\
\end{cases}

i_3\, har negativt tecken vilket innebär att i_3\,:s riktning är motsatt den som bilden visar.