Klass (matematik)

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Klass är dels ett begrepp inom mängdteorin, dels i vissa fall en synonym till ordet mängd.

I mängdteori är en klass en samling objekt som inte nödvändigtvis uppfyller teorins axiom för hur en mängd ska se ut. Alla mängder är klasser men alla klasser är inte mängder. En klass är en mängd precis om den är ett element i någon klass. Klasser som inte är mängder kallas äkta klasser. Exempelvis är klassen av alla mängder en äkta klass, liksom klassen av alla kardinaltal. Man kan använda en klassterminologi som är analog med den för mängder, det vill säga man kan tala om delklasser och unioner av klasser etc, med den avgörande skillnaden att en äkta klass inte kan vara element i någon mängd eller i någon annan klass.

I ZFC, den formalisering av mängdteorin som numera är att anse som gängse, formaliseras inte begreppet klass, utan är att jämställa med begreppet egenskap. Det finns andra formaliseringar av mängdteorin, till exempel Gödel-Bernays axiomsystem, där begreppet klass är formaliserat i språket. Man kan visa att Gödel-Bernays axiom är konservativt över ZFC, det vill säga varje sats som är formulerbar i språket för ZFC som kan avgöras i Gödel-Bernays system, kan redan avgöras i ZFC.

Historik[redigera | redigera wikitext]

Behovet av ett allmännare begrepp än mängd uppstod, därför att man gärna ville kunna diskutera exempelvis samlingen av alla ringar eller samlingen av alla mängder på liknande sätt som mängdbegreppet kan användas för exempelvis samlingen av alla heltal. Till att börja med gjordes vissa försök att helt enkelt definiera "mängden av alla mängder (med en viss egenskap)" medelst den så kallade abstraktionsprincipen. Detta innebar dock att "mängd" blev ett självrefererande begrepp på ett sätt som ledde till logiska motsägelser; se vidare Russelparadoxen.

Klassbegreppet fick stor användning inom kategoriteorin.