Konvergensradie

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Konvergensradien för en potensserie är radien för den största cirkelskiva för vilken serien är konvergent. Den är endera ett icke-negativt reellt tal eller ∞. När radien är positiv är potensserien absolutkonvergent innanför den öppna cirkelskivan bestämd av konvergensradien och divergent utanför denna radie.

Definition[redigera | redigera wikitext]

För en potensserie ƒ defineread som

där

a är en komplex konstant, positionen av konvergensskivans medelpunkt,
cn är den nte komplexa koefficienten, och
z är en komplex variabel

Konvergensradien r är ett icke-negativt reellt tal eller = ∞ sådant att serien konvergerar om

och divergerar om

I enlighet med denna definition gäller

Med andra ord, serien konvergerar om z är tillräckligt nära centrum och divergerar om z är tillräckligt avlägset. Konvergensradien anger vad som är tillräckligt nära. På gränsen, det vill säga där |z − a| = r, kan potensserien uppvisa ett komplicerat beteende och konvergera för vissa värden av z och divergera för andra. Konvergensradien sägs vara oändlig om serien konvergerar för alla z.

Beräkning av konvergensradie[redigera | redigera wikitext]

Vanliga konvergenskriterier[redigera | redigera wikitext]

Cauchys rotkriterium[redigera | redigera wikitext]

Om serien har egenskapen att där ,
är serien absolutkonvergent om 0 < A < 1 och divergent om 1 < A ≤ ∞.

d'Alemberts kvotkriterium[redigera | redigera wikitext]

Om serien har nollskilda termer och där ,
är serien absolutkonvergent om 0 < A < 1 och divergent om 1 < A ≤ ∞.

Exempel 1[redigera | redigera wikitext]

Bestäm konvergensradien och för vilka värden potensserien

konvergerar. Om

så gäller för alla nollskilda x att

Enligt d'Alemberts kvotkriterium är serien absolutkonvergent om |x| < 1 och divergent om |x| > 1 (således är konvergensradien 1). Återstår fallet då |x| är lika med konvergensradien, det vill säga då x = ±1: för x = 1 blir serien

som är divergent. Om x = -1 blir serien

som är konvergent enligt Leibniz' konvergenskriterium.

Exempel 2[redigera | redigera wikitext]

Bestäm konvergensradien för serien

för alla x och enligt Cauchys rotkriterium är serien absolutkonvergent med konvergensradien ∞.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Folke Eriksson , Eric Larsson, Gösta Wahde : ”Matematisk analys med tillämpningar”, Göteborg 2009.
  • Göran Forsling , Mats Neymark : "Matematisk analys En Variabel"
  • Brown, James; Churchill, Ruel (1989), Complex variables and applications, New York