Potensserie

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En potensserie (i en variabel) är en serie på formen

där koefficienterna an, centrumpunkten c och variabeln x vanligtvis är reella eller komplexa tal.[1] Serier av den här typen dyker upp i samband med Taylorserier.

I många sammanhang är c lika med noll, till exempel för en Maclaurinserie. I dessa fall får potensserien det något enklare utseendet

Sådana här potensserier dyker främst upp inom analysen, men också inom kombinatoriken (som genererande funktioner) och elektrotekniken (i Z-transformen). Decimalnotationen för heltal kan ses som en potensserie där x är lika med 10.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Om en reell potensserie konvergerar för något , konvergerar den absolut för alla sådana att . Antingen konvergerar serien för alla eller finns det en konvergensradie, , sådan att serien konvergerar för . För går det inte att säga något allmänt om konvergens − potensserien kan konvergera betingat, absolut eller divergera. Innanför konvergensradien kan serien deriveras och integreras termvis enligt

.

Detta är inte en självklar egenskap utan kommer ifrån att potensserier konvergerar likformigt.[2]

Ovanstående egenskaper utvidgas enkelt till komplexa potensserier.[1]

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Ett polynom kan enkelt uttryckas som en potensserie runt något centrum c, även om de flesta koefficienterna blir lika med 0. Till exempel så kan polynomet f(x) = x² + 2x + 3 skrivas runt c=0 som

eller runt c=1 som

Ett par av de viktigaste exemplen är den geometriska serien

som konvergerar för |x| < 1 samt exponentialfunktionen

Dessa serier har varit Taylorserier, men det finns potensserier som inte är Taylorserier till någon funktion, till exempel

Koefficienterna i en potensserie an får inte bero på x. Följande är alltså inte ett exempel på potensserier.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ [a b] Saff och Snider (2003). Fundamentals of Complex Analysis. Pearson Education, Inc. sid. 252-256. ISBN 0-13-017968-X 
  2. ^ Abbott, Stephen (2001). Understanding analysis. Springer Science+Business Media, Inc. sid. 169-173. ISBN 0-387-95060-5