Potensserie

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En potensserie (i en variabel) är en serie på formen

där koefficienterna an, centrumpunkten c och variabeln x vanligtvis är reella eller komplexa tal. Serier av den här typen dyker upp i samband med Taylorserier.

I många sammanhang är c lika med noll, till exempel för en Maclaurinserie. I dessa fall får potensserien det något enklare utseendet

Sådana här potensserier dyker främst upp inom analysen, men också inom kombinatoriken (som genererande funktioner) och elektrotekniken (i Z-transformen). Decimalnotationen för heltal kan ses som en potensserie med x fixerad till 10.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

För en potensserie gäller att man kan för x innanför konvergensradien deriveras och integreras termvis enligt

Detta är inte en självklar egenskap utan kommer ifrån att potensserier konvergerar likformigt (se likformig konvergens).

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Ett polynom kan enkelt uttryckas som en potensserie runt något centrum c, även om de flesta koefficienterna blir lika med 0. Till exempel så kan polynomet f(x) = x² + 2x + 3 skrivas runt c=0 som

eller runt c=1 som

Ett par av de viktigaste exemplen är den geometriska serien

som är giltig för |x| < 1 samt exponentialfunktionen

Dessa serier har varit Taylorserier, men det finns potensserier som inte är Taylorserier till någon funktion, till exempel

Koefficienterna i en potensserie an får inte bero på x. Följande är alltså inte ett exempel på potensserier.