Potensserie

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En potensserie (i en variabel) är en serie på formen

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n = a_0 + a_1(x-c) + a_2(x-c)^2 + \dots

där koefficienterna an, centrumpunkten c och variabeln x vanligtvis är reella eller komplexa tal. Serier av den här typen dyker upp i samband med Taylorserier.

I många sammanhang är c lika med noll, till exempel för en Maclaurinserie. I dessa fall får potensserien det något enklare utseendet

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots

Sådana här potensserier dyker främst upp inom analysen, men också inom kombinatoriken (som genererande funktioner) och elektrotekniken (i Z-transformen). Decimalnotationen för heltal kan ses som en potensserie med x fixerad till 10.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

För en potensserie f(x)=\sum _{k=0} ^\infty a_k x^k gäller att man kan för x innanför konvergensradien deriveras och integreras termvis enligt

\int \left( \sum _{k=0} ^\infty a_k x^k \right) dx = \sum _{k=0} ^\infty \frac{a_{k} x^{k+1} }{k+1}+C
\frac{d}{dx} \left( \sum _{k=0} ^\infty a_k x^k \right) = \sum_{k=0} ^\infty k a_k x^{k-1}

Detta är inte en självklar egenskap utan kommer ifrån att potensserier konvergerar likformigt (se likformig konvergens).

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Ett polynom kan enkelt uttryckas som en potensserie runt något centrum c, även om de flesta koefficienterna blir lika med 0. Till exempel så kan polynomet f(x) = x² + 2x + 3 skrivas runt c=0 som

f(x) = 3 + 2x + 1x^2 + 0x^3 + 0x^4 + \dots

eller runt c=1 som

f(x) = 6 + 4(x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \dots

Ett par av de viktigaste exemplen är den geometriska serien

\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots

som är giltig för |x| < 1 samt exponentialfunktionen

e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots

Dessa serier har varit Taylorserier, men det finns potensserier som inte är Taylorserier till någon funktion, till exempel

\sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + x + 2! x^2 + 3! x^3 + \dots

Koefficienterna i en potensserie an får inte bero på x. Följande är alltså inte ett exempel på potensserier.

1 + \sin(x)x + \sin(2x)x^2 + \sin(3x)x^3 + \dots