Lagrangemultiplikator

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Lagrangemultiplikator är ett begrepp i matematisk analys som kan användas om man vill hitta alla extrempunkter för funktionen f(x, y) när den begränsas av ett bivillkor g(x, y) = 0. Metoden är namngiven efter Joseph Louis Lagrange och baseras på följande teorem.

Antag att två funktioner f(x,y) samt g(x,y) har kontinuerliga förstaderivator i punkten P0 = (x0, y0) på kurvan C med ekvationen g(x, y) = 0. Antag också att när f(x, y) begränsas av punkter på C så har funktionen alltid ett lokalt maximum eller minimum i P0.

Antag även att: P0 är inte en slutpunkt på C och att .

Då finns ett tal, λ0, sådant att (x0, y0) är en stationär punkt för Lagrangefunktionen

där λ är en Lagrangemultiplikator.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

De båda första antagandena tillsammans antyder att C är tillräckligt jämn för att ha en tangent igenom P0 och att är en normal till tangenten. Om inte är parallell med så har en projicerad vektor, v, som inte är en nollvektor längs tangenten till C i P0. Det innebär att f har en positiv riktningsderivata i P0 i vs riktning och en negativ riktningsderivata i motsatt riktning till v. Därmed ökar f om den rör sig bort från P0 i riktningen v och minskar i riktningen -v, vilket i sin tur innebär att f inte kan ha ett lokalt maximum eller minimum i P0. Det innebär att måste vara parallell med och eftersom så måste det finnas ett tal, λ0, sådant att

Båda komponenterna i ovanstående vektor försäkrar oss om att och att i (x0, y0, λ0).

Den tredje ekvationen som måste satisfieras av en stationär punkt på L är Den satisfieras i punkten (x0, y0, λ0) därför att P0 ligger på C. Då fås att (x0, y0, λ0) är en stationär punkt till
L(x, y, λ).

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Maximera f(x, y) = x3y5 under bivillkoret g(x, y) = x + y - 8.

Lösning[redigera | redigera wikitext]

Vi börjar med att ställa upp Lagrangefunktionen

Vi tar sedan fram alla partiella derivator och sätter dem lika med noll i ett ekvationssystem

A - B ger D nedan:

Detta ger x = 3 och y = 5.

Det sökta värdet ges av f(3, 5) = 84375.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Calculus, A Complete Course 4th Edition av Robert A. Adams