Nablaoperatorn

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom vektoranalysen är nablaoperatorn en differentialoperator betecknad med symbolen ∇. Symbolen är ett kortare och bekvämare tecken för den vektorlika operatorn (i tre dimensioner med kartesiska koordinater):

\left(\cfrac{\partial}{\partial x}, \cfrac{\partial}{\partial y}, \cfrac{\partial}{\partial z}\right)

Symbolen introducerades av William Rowan Hamilton. Namnet nabla kommer från ett hebreiskt stränginstrument med liknande form.

Operatorn kan appliceras på skalärfält (φ) eller vektorfält (F = (Fx, Fy, Fz)), för att ge

\nabla \phi = \left(\frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y},\frac{\partial \phi}{\partial z}\right)
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}
\nabla \times \mathbf{F} = \left\vert\begin{matrix}e_x & e_y & e_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z\end{matrix}\right\vert = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)

Om man kombinerar gradient och divergens får man Laplaceoperatorn, vilken betecknas med nablaoperatorn i kvadrat, ∇2 alternativt Δ:

\Delta \phi = \nabla^2 \phi = \nabla \cdot \nabla \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}

Samt för vektorfält:

\Delta \mathbf{F} = \nabla^2 \mathbf{F} = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{F}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{F})

Räkneregler[redigera | redigera wikitext]

Genom att tolka nablaoperatorn som en vektor och använda räkneregler för vektorprodukter går det att visa att

\nabla \times (\nabla \phi) = \mathbf{0}
\nabla \times \nabla = \mathbf{0}

Produktregler[redigera | redigera wikitext]

\begin{align}
\nabla (fg) &= f\nabla g + g\nabla f \\
\nabla(\vec u \cdot \vec v) &= \vec u \times (\nabla \times \vec v) + \vec v \times (\nabla \times \vec u) + ( \vec u \cdot \nabla) \vec v + (\vec v \cdot \nabla )\vec u \\
\nabla \cdot (f \vec v) &= f (\nabla \cdot \vec v) + \vec v \cdot (\nabla f) \\
\nabla \cdot (\vec u \times \vec v) &= \vec v \cdot (\nabla \times \vec u) - \vec u \cdot (\nabla \times \vec v ) \\
\nabla \times (f \vec v) &= (\nabla f) \times \vec v + f (\nabla \times \vec v) \\
\nabla \times (\vec u \times \vec v) &= \vec u \, (\nabla \cdot \vec v) - \vec v \, (\nabla \cdot \vec u) + (\vec v \cdot \nabla) \, \vec u - (\vec u \cdot \nabla) \, \vec v
\end{align}

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.