Tangent (matematik)

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
En tangent till kurvan.

En tangent är inom plan geometri en rät linje som nuddar, tangerar, en kurva i en punkt, tangeringspunkten, där kurvans lutning (derivata) är lika med tangentens lutning (riktningskoefficient). Inom geometri kan en tangent approximeras med en sekant.

Om lutningen hos en tangent för en funktion är känd kan tangentens fullständiga ekvation bestämmas med enpunktsformen

(y - y_0) = k(x - x_0) även y = kx + m

där k är lutningen och tangenten tangerar funktionskurvan i punkten (x0, y0).

I specialfallet när kurvan är en cirkel, så är tangenten vinkelrät mot radien.

Analys[redigera | redigera wikitext]

En "formell" definition av tangenten kräver matematisk analys. Antag att kurvan är en graf av en funktion y = f(x) och att vi är intresserade av informationen i punkten (x0, y0) där y0 = f(x0). Kurvan har en icke-vertikal tangent i punkten (x0, y0) om och endast om funktionen är deriverbar i x0. I detta fall är lutningen av tangenten given av f '(x0). Kurvan har en vertikal tangent i (x0, y0) om och endast om lutningen närmar sig ± oändligheten från motsatta håll.

I ett ovanstående stycke noterades att en sekant kan användas för att approximera en tangent. Man kan uttrycka sig så att lutningen för en sekant omkring en tangent närmar sig lutningen för tangenten när sekantens skärningspunkter med grafen närmar sig tangentens skärningspunkt med grafen. Konceptet bygger på gränsvärdebegreppet för att studera kurvors närmande. Matematisk analys är till stor del utvecklat från problemet att finna lutningen hos en tangent, det s.k. tangentlinjeproblemet.

Med analytiska metoder kan en tangent T(t) till en funktion f(x) i en punkt (x_0, f(x_0)) allmänt skrivas

T(t) = f'(x_0)\cdot t+f(x_0)-f'(x_0)x_0,

förutsatt att f(x) är deriverbar i punkten.

Se även[redigera | redigera wikitext]