Multinomialsatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Multinomialsatsen är, inom matematik, en generalisering av binomialsatsen och är en framställning av ett multinom som en summa av potenser i talen .

Satsens lydelse[redigera | redigera wikitext]

Låt vara godtyckliga reella eller komplexa tal och ett godtyckligt naturligt tal. Då kan potensen framställas som följande summa:

Summasymbolen indikerar att man skall summera över alla multipler av naturliga tal sådana att deras summa Symbolen

där (se fakultet), kallas multinomialkoefficient och är en generalisering av binomialkoefficienten .

Exempel: Trinom[redigera | redigera wikitext]

Trinomet kan beräknas direkt genom utveckling av kvadraten eller genom användning av multinomialsatsen.

Multinomialsatsen kräver tripler där komponenterna , och är heltal i mängden sådana att deras summa är De möjliga triplerna är och .

Det kan noteras att problemet att bestämma de möjliga triplerna är identiskt med problemet att finna antalet sätt att skriva talet 2 som en summa av tre naturliga tal. Den generella multinomialsatsen kräver en lösning till problemet att bestämma antalet sätt som det naturliga talet n kan skrivas som en summa av m naturliga tal.

Multinomialkoefficienterna associerade med de olika triplerna ovan är

och

Multinomialsatsen ger oss potensen som summan

vilket, med de beräknade multinomialkoefficienterna, är

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.