Binomialsatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Binomialsatsen är en sats inom den matematiska analysen. Satsen används för att utveckla potenser av binom.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt och vara två godtyckligt valda reella eller komplexa tal. För varje naturligt tal gäller för exponentieringen av binomet :

där talet

är en binomialkoefficient (utläses n över k) och n! betecknar n-fakultet, vilken definieras som

Historik[redigera | redigera wikitext]

Sex rader av Pascals triangel

Binomialsatsen och Pascals triangel — som kan användas för att bestämma koefficienterna — brukar tillskrivas Blaise Pascal som beskrev dem på 1600-talet. De var dock tidigare kända av den kinesiske matematikern Yang Hui på 1200-talet, den persiske matematikern Omar Khayyám på 1000-talet, samt den indiske matematikern Pingala på 200-talet f.Kr.

Tillämpningar av binomialsatsen[redigera | redigera wikitext]

  • Binomialsatsen gör det enkelt att skriva ned exponentieringen av binom, vilket annars skulle kunna vara tidsödande att utveckla för hand.
Detta kan illustreras med utvecklingen av :
Den sjätte raden i Pascals triangel innehåller alla binomialkoefficienter som förekommer i denna utveckling: 1, 5, 10, 10, 5 och 1 och utvecklingen kan därmed skrivas
  • Om är en mängd bestående av stycken element, så anger binomialkoefficienten, , antalet delmängder till bestående av stycken element. Med hjälp av binomialsatsen går det att visa att det kan bildas delmängder av mängden :
Det finns delmängder bestående av noll element och delmängder bestående av ett element och delmängder bestående av två element och så vidare. Totalt finns det
delmängder till mängden . Binomialsatsen ger — med och
  • Med hjälp av binomialsatsen går det att visa att om en mängd består av element, så är antalet delmängder med ett udda antal element lika med antalet delmängder med ett jämnt antal element.
Om binomialsatsen tillämpas för de två talen och ger detta
Om heltalet är jämnt finns det
stycken delmängder med ett jämnt antal element, och
delmängder med ett udda antal element. Motsvarande resultat gäller då är ett udda tal.

Newtons generaliserade binomialsats[redigera | redigera wikitext]

Isaac Newton visade att satsen kan generaliseras till att gälla även då exponenten inte är ett heltal

där kan vara ett godtyckligt komplext tal och . Binomialkoefficienterna ges då av

När reduceras denna produkt till en tom produkt och är lika med 1.

Andra generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Abel[redigera | redigera wikitext]

Niels Henrik Abel generaliserade 1826 binomialsatsen till

som gäller för och icke-negativa heltal n. Formeln ger den vanliga binomialsatsen när .

Cauchy[redigera | redigera wikitext]

Augustin Louis Cauchy gav 1843 en s.k. q-analog generalisering av binomialsatsen enligt

för icke-negativa heltal n. I denna formel definieras q-binomialkoefficienterna (även kallade gaussiska polynom) av

där och är beteckningar för

Bevis av binomialsatsen[redigera | redigera wikitext]

Det går att bevisa binomialsatsen med hjälp av matematisk induktion. Först visas att binomialsatsen gäller för det naturliga talet . Sedan antas att binomialsatsen är sann för det naturliga talet . Därefter visas att detta innebär att binomialsatsen är sann för det efterföljande naturliga talet: . Beviset avslutas sedan genom att åberopa induktionsaxiomet, vilket leder till slutsatsen att binomialsatsen är sann för varje naturligt tal .

Det räcker att bevisa satsen då talet , eftersom

Låt vara ett godtyckligt valt (reellt eller komplext) tal. För det naturliga talet n = 1 gäller

vilket stämmer med binomialsatsen.

Antag att satsen är sann för det naturliga talet :

vilket är det så kallade induktionsantagandet.

För det efterföljande naturliga talet utvecklas potensen och koefficienterna grupperas:

Sedan visas att en godtycklig koefficient i denna utveckling kan skrivas som

Induktionsantagandet innebär att koefficienten
och följande beräkning, uttrycker summan som binomialkoefficienten
Definitionerna av binomialkoefficient och fakultet ger

Följaktligen är koefficienterna sådana att

vilket innebär att utvecklingen av potensen kan skrivas som

dar det faktum används att

Utvecklingen av potensen kan kortfattat skrivas med hjälp av summasymbolen som

vilket enligt binomialsatsen är resultatet då den tillämpas för heltalet .

Det sista steget i beviset av binomialsatsen är att åberopa induktionsaxiomet, vilket innebär att om det går att visa att ett påstående — i detta fall utvecklingen av potensen — rörande de naturliga talen är sant för det naturliga talet och att det även är sant för talets efterföljare, , så är påståendet sant för alla naturliga tal.

Eftersom talet var godtyckligt valt har följande påstående bevisats:

För varje (reellt eller komplext) tal och för varje naturligt tal , kan potensen utvecklas enligt:

Vi lägger sista handen vid beviset genom att visa exponentieringen av det generella binomet :

Härmed är beviset av binomialsatsen klart.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.