Figur 1. Napiers analogier eller Napiers (Nepers[ 1] är en uppsättning av formler inom sfärisk trigonometri med vars hjälp man bland annat kan beräkna sidlängder och hörnvinklar för sfäriska trianglar (beteckningar enligt figur 1):
tan
1
2
(
α
+
β
)
=
cos
1
2
(
a
−
b
)
cos
1
2
(
a
+
b
)
cot
1
2
γ
tan
1
2
(
a
+
b
)
=
cos
1
2
(
α
−
β
)
cos
1
2
(
α
+
β
)
tan
1
2
c
tan
1
2
(
α
−
β
)
=
sin
1
2
(
a
−
b
)
sin
1
2
(
a
+
b
)
cot
1
2
γ
tan
1
2
(
a
−
b
)
=
sin
1
2
(
α
−
β
)
sin
1
2
(
α
+
β
)
tan
1
2
c
{\displaystyle {\begin{aligned}&&\\[-2ex]\displaystyle {\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {+}\beta )}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}}\cot {\textstyle {\frac {1}{2}}\gamma }&\qquad &{\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {-}\beta )}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {+}\beta )}}\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}c}\\[2ex]{\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {-}\beta )}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}}\cot {\textstyle {\frac {1}{2}}\gamma }&\qquad &{\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {-}\beta )}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {+}\beta )}}\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}c}\end{aligned}}}
Motsvarande gäller för
tan
1
2
(
α
±
γ
)
{\displaystyle \tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha \pm \gamma )}
tan
1
2
(
a
±
c
)
{\displaystyle \tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a\pm c)}
tan
1
2
(
β
±
γ
)
{\displaystyle \tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\beta \pm \gamma )}
tan
1
2
(
b
±
c
)
{\displaystyle \tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(b\pm c)}
Om man dividerar de två formlerna till vänster med varandra, eller de två till höger med varandra, får man den sfäriska tangenssatsen :
tan
(
a
−
b
2
)
tan
(
a
+
b
2
)
=
tan
(
α
−
β
2
)
tan
(
α
+
β
2
)
.
{\displaystyle {\frac {\tan \left({\frac {a-b}{2}}\right)}{\tan \left({\frac {a+b}{2}}\right)}}={\frac {\tan \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}}.}
Napiers analogier används i det fall man har givet två sidor och en mot endera av dessa stående hörnvinkel eller två hörnvinklar och en mot endera av dessa stående sida (övriga fall löses med sfäriska cosinussatsen , duala cosinussatsen eller de sfäriska formlerna för halva vinkeln och halva sidan ). Den andra motstående sidan eller hörnvinkeln beräknas först med sfäriska sinussatsen , varefter den tredje sidan eller hörnvinkeln fås med hjälp av någon av Napiers analogier. Den återstående sidan/hörnvinkeln beräknas därefter enklast med hjälp av sfäriska sinussatsen.
Två av de fyra analogierna (de två till höger) härrör från John Napier , vars Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio [ 2] Henry Briggs , som lade till de två andra (de "polära " till vänster) i sina kommentarer till verket.[ 3] William Oughtred 1657 i Trigonometria .[ 4] Leonhard Euler .[ 3]
De olika analogierna kan ganska enkelt härledas ur varandra genom att betrakta en "kolunär" triangel till
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
polära trianglarna till dessa.
Med en "kolunär" triangel avses en triangel som delar en sida och två hörn med
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
antipoden till
△
A
B
C
s
{\displaystyle \triangle ABCs}
digon ", på engelska "lune". Den "kolunära" triangeln som delar sidan
a
{\displaystyle a}
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
a
{\displaystyle a}
π
−
b
{\displaystyle \pi -b}
π
−
c
{\displaystyle \pi -c}
α
{\displaystyle \alpha }
π
−
β
{\displaystyle \pi -\beta }
π
−
γ
{\displaystyle \pi -\gamma }
tan
1
2
(
α
+
(
π
−
β
)
)
=
cos
1
2
(
a
−
(
π
−
b
)
)
cos
1
2
(
a
+
(
π
−
b
)
)
cot
1
2
(
π
−
γ
)
⇔
{\displaystyle \tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {+}(\pi -\beta ))}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}(\pi -b))}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}(\pi -b))}}\cot {\textstyle {\frac {1}{2}}(\pi -\gamma )\Leftrightarrow }
tan
(
α
−
β
2
+
π
2
)
=
cos
(
a
+
b
2
−
π
2
)
cos
(
a
−
b
2
+
π
2
)
cot
(
π
2
−
γ
2
)
⇔
{\displaystyle \tan \textstyle ({\frac {\alpha -\beta }{2}}+{\frac {\pi }{2}})}={\frac {\cos(\textstyle {{\frac {a+b}{2}}-{\frac {\pi }{2}}})}{\cos(\textstyle {{\frac {a-b}{2}}+{\frac {\pi }{2}}})}}\cot(\textstyle {{\frac {\pi }{2}}-{\frac {\gamma }{2}})\Leftrightarrow }
−
cot
(
α
−
β
2
)
=
sin
(
a
+
b
2
)
−
sin
(
a
−
b
2
)
tan
(
γ
2
)
⇔
{\displaystyle -\cot \textstyle ({\frac {\alpha -\beta }{2}})}={\frac {\sin(\textstyle {\frac {a+b}{2}})}{-\sin(\textstyle {\frac {a-b}{2}})}}\tan(\textstyle {{\frac {\gamma }{2}})\Leftrightarrow }
tan
(
α
−
β
2
)
=
sin
(
a
−
b
2
)
sin
(
a
+
b
2
)
cot
(
γ
2
)
{\displaystyle \tan \textstyle ({\frac {\alpha -\beta }{2}})}={\frac {\sin(\textstyle {\frac {a-b}{2}})}{\sin(\textstyle {\frac {a+b}{2}})}}\cot(\textstyle {{\frac {\gamma }{2}})}
För sidor och hörn i den polära triangeln
△
A
′
B
′
C
′
{\displaystyle \triangle A'B'C'}
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
[ 5]
a
′
=
π
−
α
,
b
′
=
π
−
β
,
c
′
=
π
−
γ
,
α
′
=
π
−
a
,
β
′
=
π
−
b
,
γ
′
=
π
−
c
{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}a'&=\pi -\alpha ,&b'&=\pi -\beta ,&c'&=\pi -\gamma ,\\\alpha '&=\pi -a,&\qquad \beta '&=\pi -b,&\qquad \gamma '&=\pi -c\end{alignedat}}}
Insättning av dessa i de två analogier vi redan har, ger de båda polära analogierna.
Härledning ur sfäriska sinussatsen och duala cosinussatsen [ redigera | redigera wikitext ] Nedan ges en härledning för den första av Napiers analogier. Den sfäriska sinussatsen
sin
α
sin
a
=
sin
β
sin
b
=
m
{\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \beta }{\sin b}}=m}
ger:
sin
α
=
m
⋅
sin
a
(
1
)
{\displaystyle \sin \alpha =m\cdot \sin a\qquad (1)}
sin
β
=
m
⋅
sin
b
(
2
)
{\displaystyle \sin \beta =m\cdot \sin b\qquad (2)\qquad }
sin
α
+
sin
β
=
m
⋅
(
sin
a
+
sin
b
)
(
3
)
{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =m\cdot (\sin a+\sin b)\qquad (3)}
Från den duala cosinussatsen har vi:
cos
α
=
−
cos
γ
cos
β
+
sin
γ
sin
β
cos
a
{\displaystyle \cos \alpha =-\cos \gamma \cos \beta +\sin \gamma \sin \beta \cos a\qquad }
cos
β
=
−
cos
α
cos
γ
+
sin
α
sin
γ
cos
b
{\displaystyle \cos \beta =-\cos \alpha \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \cos b}
vars summa är:
cos
α
+
cos
β
=
−
(
cos
α
+
cos
β
)
cos
γ
+
(
cos
a
sin
β
+
sin
α
cos
b
)
sin
γ
{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =-(\cos \alpha +\cos \beta )\cos \gamma +(\cos a\sin \beta +\sin \alpha \cos b)\sin \gamma }
Vi flyttar om, ersätter enligt (1) och (2) ovan och sedan enligt den välkända summaformeln
cos
a
sin
b
+
sin
a
cos
b
=
s
i
n
(
a
+
b
)
{\displaystyle \cos a\sin b+\sin a\cos b=sin(a+b)}
trigonometri :
(
cos
α
+
cos
β
)
⋅
(
1
+
cos
γ
)
=
m
⋅
(
cos
a
sin
b
+
sin
a
cos
b
)
sin
γ
=
m
⋅
sin
γ
sin
(
a
+
b
)
⇔
{\displaystyle (\cos \alpha +\cos \beta )\cdot (1+\cos \gamma )=m\cdot (\cos a\sin b+\sin a\cos b)\sin \gamma =m\cdot \sin \gamma \sin(a+b)\Leftrightarrow }
cos
α
+
cos
β
=
m
⋅
sin
γ
sin
(
a
+
b
)
(
1
+
cos
γ
)
(
4
)
{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta ={\frac {m\cdot \sin \gamma \sin(a+b)}{(1+\cos \gamma )}}\qquad (4)}
Vi dividerar (3) med (4) och får:
sin
α
+
sin
β
cos
α
+
cos
β
=
m
⋅
(
sin
a
+
sin
b
)
m
⋅
sin
γ
sin
(
a
+
b
)
⋅
(
1
+
cos
γ
)
=
sin
a
+
sin
b
sin
(
a
+
b
)
⋅
1
+
cos
γ
sin
γ
{\displaystyle {\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}={\frac {m\cdot (\sin a+\sin b)}{m\cdot \sin \gamma \sin(a+b)}}\cdot (1+\cos \gamma )={\frac {\sin a+\sin b}{\sin(a+b)}}\cdot {\frac {1+\cos \gamma }{\sin \gamma }}}
Från den plana trigonometrin har vi
sin
x
+
sin
y
=
2
sin
x
+
y
2
cos
x
−
y
2
{\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}}
cos
x
+
cos
y
=
2
cos
x
+
y
2
cos
x
−
y
2
{\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}}
1
+
c
o
s
γ
2
=
cos
2
γ
2
{\displaystyle {\frac {1+cos\gamma }{2}}=\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}}
2
sin
α
+
β
2
c
o
s
α
−
β
2
2
cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
=
2
sin
a
+
b
2
cos
a
−
b
2
sin
(
a
+
b
)
⋅
2
cos
2
γ
2
sin
γ
{\displaystyle {\frac {2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}cos{\frac {\alpha -\beta }{2}}}{2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {2\sin {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}}{\sin(a+b)}}\cdot {\frac {2\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}}{\sin \gamma }}}
Vi förkortar vänsterledet och utnyttjar nu också att
sin
2
x
=
2
sin
x
cos
x
⇔
sin
x
=
2
sin
x
2
cos
x
2
{\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x\Leftrightarrow \sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}
sin
α
+
β
2
cos
α
+
β
2
=
2
sin
a
+
b
2
cos
a
−
b
2
2
sin
a
+
b
2
cos
a
+
b
2
⋅
2
cos
2
γ
2
2
sin
γ
2
cos
γ
2
⇔
{\displaystyle {\frac {\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}={\frac {2\sin {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}}{2\sin {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}}}\cdot {\frac {2\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}}{2\sin {\frac {\gamma }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}}\Leftrightarrow }
tan
α
+
β
2
=
cos
a
−
b
2
cos
a
+
b
2
{\displaystyle \tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\cos {\frac {a-b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}}
⋅
cot
γ
2
Q
.
E
.
D
.
{\displaystyle \cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}\qquad Q.E.D.}
Övriga analogier kan härledas på liknande sätt (för hörnvinkelanalogierna untnyttjas sfäriska cosinussatsen i stället för den duala och ytterligare några formler från den plana trigonometrin får också användas), men det enklaste är såklart att utnyttja det samband mellan analogierna som visats ovan.
Napiers analogier kan erhållas ur Delambres analogier :[ 6]
(
1
)
sin
1
2
(
α
+
β
)
cos
1
2
γ
=
cos
1
2
(
a
−
b
)
cos
1
2
c
(
2
)
sin
1
2
(
α
−
β
)
cos
1
2
γ
=
sin
1
2
(
a
−
b
)
sin
1
2
c
(
3
)
cos
1
2
(
α
+
β
)
sin
1
2
γ
=
cos
1
2
(
a
+
b
)
cos
1
2
c
(
4
)
cos
1
2
(
α
−
β
)
sin
1
2
γ
=
sin
1
2
(
a
+
b
)
sin
1
2
c
{\displaystyle {\begin{aligned}&\\(1)\qquad {\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {+}\beta )}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}\gamma }}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}c}}&\qquad \qquad &(2)\qquad {\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {-}\beta )}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}\gamma }}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}c}}\\[2ex](3)\qquad {\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {+}\beta )}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}\gamma }}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}c}}&\qquad &(4)\qquad {\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {-}\beta )}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}\gamma }}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}c}}\end{aligned}}}
genom parvis division av dessa med varandra.
(
1
)
(
3
)
{\displaystyle {\frac {(1)}{(3)}}}
tan
1
2
(
α
+
β
)
{\displaystyle \tan \textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )}
(
3
)
(
4
)
{\displaystyle {\frac {(3)}{(4)}}}
tan
1
2
(
a
+
b
)
{\displaystyle \tan \textstyle {\frac {1}{2}}(a+b)}
^ Från Ioannes Neper, latiniserad form av John Napier. Se exempelvis Napier, 1. John i Nordisk familjebok
^ John Napier och Henry Briggs, 1620, Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio
^ [a b Urs Dietrich och Kurt Girstmair, 2014, Napier’s main application: spherical trigonometry Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio av Collacteana de Logarithmis .
^ William Oughtred, 1657, Trigonometria
^ Se artikeln Polär triangel
^ Se Moritz (1913) sid. 44.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&&\\[-2ex]\displaystyle {\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {+}\beta )}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}}\cot {\textstyle {\frac {1}{2}}\gamma }&\qquad &{\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {-}\beta )}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {+}\beta )}}\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}c}\\[2ex]{\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {-}\beta )}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}}\cot {\textstyle {\frac {1}{2}}\gamma }&\qquad &{\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{-}b)}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {-}\beta )}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {+}\beta )}}\tan {\textstyle {\frac {1}{2}}c}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3999025e6f7b2aa84bde1821c8e60c0d26889358)
\qquad {\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {+}\beta )}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}\gamma }}={\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}{\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}c}}&\qquad &(4)\qquad {\frac {\cos {\textstyle {\frac {1}{2}}}(\alpha {-}\beta )}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}\gamma }}={\frac {\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}(a{+}b)}{\sin {\textstyle {\frac {1}{2}}}c}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27ddf5a74a26ed07743df9a9ea147b3e261baa0)
