Nesbitts olikhet

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Inom matematiken är Nesbitts olikhet en olikhet som är ett specialfall av Shapiros olikhet. Olikheten säger att för positiva reella tal a, b och c gäller

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Första bevis[redigera | redigera wikitext]

Först skriver vi Nesbitts olikhet

i formen

som kan vidare skrivas som

Genom att dela med tre och faktorn till höger får vi

Vänstra sidan är det aritmetiska medelvärdet och högra sidan är det harmoniska medelvärdet, så olikheten är sann.

Andra bevis[redigera | redigera wikitext]

Följande identitet gäller för alla

Detta bevisar att vänstra membrum inte är mindre än för positiva a,b och c.

Notera: varje rationell olikhet kan lösas genom att transformera den till en lämplig identitet; se vidare Hilberts sjuttonde problem.

Tredje bevis[redigera | redigera wikitext]

Vi transformerar Nesbitts olikhet till en ekvivalent olikhet som är ett specialfall av en välkänd olikhet. Vi börjar med Nesbitts olikhet

och adderar till båda membrum:

Detta kan transformeras till

Multiplikation med ger att

vilket stämmer enligt Cauchy–Schwarz olikhet.

Fjärde bevis[redigera | redigera wikitext]

Vi börjar med Nesbitts olikhet

och sätter a+b=x, b+c=y, c+a=z vilket ger

som kan transformeras till

som är sann enligt olikheten av aritmetiska och geometriska medeltalen.

Femte bevis[redigera | redigera wikitext]

För att bevisa att

multiplicerar vi det första bråket med , det andra med och det tredje med vilket ger

Genom att använda Titus lemma får vi

Det räcker alltså att bevisa att

Detta kan skrivas som

vilket igen kan skrivas som

vilket stämmer.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Nesbitt's inequality, 5 december 2013.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.