Aritmetiskt medelvärde

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Aritmetiskt medelvärde, ofta bara kallat medelvärde, är det genomsnittliga värdet av en uppsättning tal och definieras som

Aritmetiskt medelvärde av två tal[redigera | redigera wikitext]

Det aritmetiska medelvärdet av två reella tal, och , är det reella tal, , som ligger mitt emellan de två talen:

Det aritmetiska medelvärdet kan också uppfattas som en tyngdpunkt. Likna den reella tallinjen vid en tunn bräda och placera två vikter på platserna och där varje vikt väger lika mycket. På platsen kan brädan balanseras.

Aritmetiskt medelvärde av fler än två tal[redigera | redigera wikitext]

Det aritmetiska medelvärdet av n stycken reella tal kan tolkas som tyngdpunkten för n stycken lika stora vikter utplacerade på platserna :

Viktat aritmetiskt medelvärde[redigera | redigera wikitext]

Om man istället för att placera ut lika tunga vikter på de n platserna lägger ut olika vikter, får man ett så kallat viktat aritmetiskt medelvärde:

På plats placerar vi vikten ; på plats placerar vi vikten , och så vidare. Vi kan utgå ifrån att den sammanlagda vikten är lika med en viktenhet:

Då blir det viktade aritmetiska medelvärdet en så kallad konvex linjärkombination (även kallad konvex kombination) av talen :

Det aritmetiska medelvärdet är ett exempel på en konvex linjärkombination.

Samband mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde[redigera | redigera wikitext]

Det geometriska medelvärdet av två positiva reella tal, och , är det reella talet

Med hjälp av kvadreringsregeln från algebran går det att visa att det geometriska medelvärdet av två positiva tal aldrig kan vara större än det aritmetiska medelvärdet:

Härledning av sambandet för två positiva tal[redigera | redigera wikitext]

Tillämpas kvadreringsregeln på uttrycket , vilket alltid är positivt, erhålls

Vi ser också att de aritmetiska och geometriska medelvärdena är lika stora om, och endast om, och är samma tal.

Utvidgning av sambandet till fler än två positiva tal[redigera | redigera wikitext]

Genom att använda matematisk induktion, går det att visa att olikheten för aritmetiskt och geometriskt medelvärde gäller även för fler än två positiva tal:

Logaritmfunktionen visar att det geometriska medelvärdet är ett slags aritmetiskt medelvärde:

Olikheten mellan det aritmetiska och det geometriska medelvärdet följer då från olikheten

för logaritmfunktionen.

Jämförelse med andra medelvärden[redigera | redigera wikitext]

Geometrisk jämförelse av medelvärden

Medelvärden av två tal, a och b, kan konstrueras geometriskt med hjälp av en halvcirkel med diametern a + b.

A: Aritmetiska medelvärdet
Q: Kvadratiska medelvärdet
H: Harmoniska medelvärdet
G: Geometriska medelvärdet

Det framgår att

Denna ordning gäller även för ett godtyckligt antal tal.

Se även[redigera | redigera wikitext]