Harmoniskt medelvärde

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Harmoniskt medelvärde är ett av de tre Pythagoreiska medelvärdena och används främst för att beskriva tillväxtfenomen.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Diskret fördelning[redigera | redigera wikitext]

Det harmoniska medelvärdet H av de positiva reella talen x1, x2, ..., xn är definierad som det inverterade värdet av det aritmetiska medelvärdet av reciprokerna till x1, x2, ..., xn:

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Det harmoniska medelvärdet av 1, 2, och 4 är

Kontinuerlig fördelning[redigera | redigera wikitext]

För en kontinuerlig fördelning är det harmoniska medelvärdet

Viktat harmoniskt medelvärde[redigera | redigera wikitext]

Om en mängd av vikter är associerad med en datamängd , definieras det viktade harmoniska medelvärdet som

Det harmoniska medelvärdet kan ses som ett specialfall med vikterna = 1.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Harmoniskt medelvärde används inom andra vetenskaper som till exempel elektrofysik och geologi. Inom geologin används harmoniskt medelvärde för bestämning av vattengenomsläppigheten i olika jordarter.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Antag att en person färdas sträckorna s1,..., sn med hastigheterna v1,..., vn. Genomsnittshastigheten v för hela resan ges av det viktade harmoniska medelvärdet

Medelhastigheten för en bil som kör en 120 km lång sträcka fram och tillbaka mellan hemmet och sommarstugan, först med hastigheten 60 km/h till sommarstugan och sedan tillbaka med hastigheten 120 km/h, är lika med det harmoniska medelvärdet 80 km/h, inte det aritmetiska medelvärdet som är 90 km/h.

Anledningen är att det tar två timmar att köra 120 km med hastigheten 60 km/h och att köra samma sträcka med hastigheten 120 km/h tar en timma. Totalt har bilen kört 240 km under 3 timmar och om vi delar 240 km med 3 timmar blir detta 80 km/h, vilket är lika med det harmoniska medelvärdet:

Jämförelse med andra medelvärden[redigera | redigera wikitext]

Geometrisk jämförelse av medelvärden

Medelvärden av två tal, a och b, kan konstrueras geometriskt med hjälp av en halvcirkel med diametern a + b.

A: Aritmetiska medelvärdet
Q: Kvadratiska medelvärdet
H: Harmoniska medelvärdet
G: Geometriska medelvärdet

Det framgår att

Denna ordning gäller även för ett godtyckligt antal tal.